分布式多入多出雷達相干處理二維分辨率分析

陳 剛 顧 紅 蘇衛民

(南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094)

引 言

相對于光學成像，雷達成像具有全天候、全天時、遠距離、可探測隱蔽目標等諸多優勢[1]。目前應用最為廣泛的雷達成像技術是合成孔徑雷達(SAR)成像和逆合成孔徑雷達(ISAR)成像。二者都是利用目標與雷達的相對轉動獲得橫向的高分辨，并通過發射大帶寬信號獲得縱向距離的高分辨。但信號帶寬的增加，將帶來雷達信號處理難度的加大、系統復雜度的提高以及設備成本的上升[2]。多輸入多輸出(MIMO)雷達是近年來提出的一種新的雷達體制，在國內外引起人們越來越多的關注，研究表明它能突破信號帶寬的限制，獲得很高的橫縱二維分辨率[3]，這為雷達成像提供了新的方法。

MIMO雷達主要分為兩類，一類收發天線密集放置，稱為緊湊式MIMO雷達[4-6]；另一類收發天線廣域分布，陣元間距離較大，稱為分布式MIMO雷達[7-10]。緊湊式MIMO雷達主要利用波形分集，它能明顯改善雷達目標參數識別能力、提高發射波形設計的靈活性、增大可同時探測目標的數量[11-12]。而分布式MIMO雷達主要利用空間分集，在非相干信號處理模式下，可克服傳統雷達中由于目標雷達散射截面(RCS)閃爍帶來的檢測性能下降[10]；在相干信號處理模式下，能獲得很高的橫縱二維分辨能力[3]。

分布式MIMO雷達工作在相干處理模式時，各發射陣元發射時域正交信號，而各接收陣元接收所有發射信號對應的回波，通過匹配濾波器組將不同路徑回波分離，然后集中對各路回波信號進行相干處理，利用回波信號相位中包含的時延信息獲得高分辨能力。文獻[3]推導了分布式MIMO雷達相干處理定位誤差的克拉美羅下界，并對相干處理模糊函數和非相干處理模糊函數進行對比，得出相干處理模式具有很高定位精度和分辨率的結論。文獻[13]進一步對比分析了分布式MIMO雷達在進行相干處理和非相干處理兩種情況下，目標定位誤差的克拉美羅下界，得出影響相干處理模式定位精度的因素等結論。本文在現有研究的基礎上對分布式MIMO雷達相干處理模式的分辨率進行了詳細研究，推導出該模式下分布式MIMO雷達橫向、縱向分辨率的數學公式，并分析了影響二維分辨率的因素。

1.分布式MIMO雷達信號模型

分布式MIMO雷達陣列結構如圖1所示，為分析雷達橫縱二維分辨能力，假設所有陣元和目標位于同一水平面，系統由M個發射陣元T1，T2，…，TM和N個接收陣元陣元R1，R2，…，RN組成，發射陣元最小間距為dt，接收陣元最小間距為dr，二者均滿足[8]

(1)

式中：λ是發射(接收)信號載波波長；r是目標與陣列間距離；D是目標切向尺寸。發射和接收陣元均滿足空間分集條件。在圖1中，以雷達監視區域中心為原點建立直角坐標系。假設目標是靜止不動的點散射體，坐標為P=[xp，yp]T，其反射系數與電磁波入射方向無關，即各向同性。同時假設收(發)陣元到目標距離引起的信號衰減近似為常數，可對各接收陣元所接收到的信號進行相干處理。定義陣元相對目標的角度為它和目標之間連線與y軸的夾角，第i個發射陣元相對于目標的角度為θt，i，第j個接收陣元相對于目標的角度為θr，j.

圖1 分布式MIMO雷達陣列結構

第i個發射陣元發射的信號為

(2)

(3)

式中：si(t)表示第i個發射波形的復包絡，即基帶信號。假設不同基帶信號在存在相對時延情況下近似正交，即滿足

(4)

第i個發射陣元發射的信號，經點目標P=[xp，yp]T反射后，被第j個接收陣元接收，接收信號表示式為：

(5)

(6)

(7)

式中c代表光速。對式(7)進行泰勒展開，得

(8)

因為

(9)

所以將式(9)代入式(8)，得

sinθr，j)xp+(cosθt，i+cosθr，j)yp]

(10)

(cosθt，i+cosθr， j)y]

(11)

2.相干處理模式分辨率分析

模糊函數是分析雷達分辨率的重要工具。假設目標位于坐標原點，可得歸一化后的MIMO雷達二維模糊函數[3]：

(12)

模糊函數的主瓣寬度表征了雷達對于多個目標的分辨能力。求模糊函數的主瓣在x、y方向上的3 dB寬度Wx、Wy，即求解以下2個方程

(13)

(14)

但因為式(13)和(14)為超越方程，難以得到解析解，只能通過圖像法等方法求解，計算量較大，且無法對影響主瓣寬度的因素進行進一步分析，所以，采用拋物線擬合的方法求解模糊函數主瓣寬度。

(15)

假定目標位于坐標原點，與收發陣列距離r=3 000 m，陣元相對目標的角度θt，i和θr，j在[-θmax，θmax]范圍內均勻分布，信號中心頻率fc=2 GHz.圖2是發射陣元數M=8、接收陣元數N=8，θmax=45°時，不同信號帶寬條件下，通過式(12)和式(15)仿真得到的主瓣寬度。其中橫坐標為信號帶寬與中心頻率比值，縱坐標為主瓣寬度和信號波長的比值。

圖2 式(12)和式(15)x、y切面主瓣寬度對比

從圖2可以看出，在不同帶寬條件下，二者主瓣寬度近似相等。改變仿真條件中的陣元數目M、N和角度范圍θmax，統計不同帶寬時式(15)與(12)主瓣寬度相對誤差的平均值，結果如表1所示。從表1可以看出，在陣列相對目標形成一定張角的情況下，用式(15)的主瓣寬度代替式(12)的主瓣寬度誤差很小，且誤差平均值隨著角度范圍的增大而迅速下降。因此，為簡化分析，計算模糊函數x切面和y切面主瓣寬度時，用式(15)代替式(12)。

表1 不同帶寬時式(15)與式(12)主瓣寬度相對誤差的平均值

式(15)沿x軸和y軸切割得到的圖形函數分別表示為Ap([x，0]T)和Ap([0，y]T)，將式(11)代入x切面函數，得

(16)

式中

sinθt，k)

(17)

sinθr，k)

(18)

將式(17)和(18)代入式(16)，得

(19)

用拋物線p(x)=a-bx2對Ap([x，0]T)進行擬合，所得拋物線的3 dB寬度近似等于Ap([x，0]T)主瓣的3 dB寬度，稱為Ap([x，0]T)主瓣的拋物線寬度PW，可得[14]

(20)

式中下標peak表示公式在峰值點處取值，對于Ap([x，0]T)而言即x=0處。由式(19)得

=1

(21)

和

(sinθt，l-sinθt，k)2+

(22)

將式(21)和(22)代入式(19)，得

(23)

同理可得Ap([0，y]T)的拋物線寬度

(24)

式(23)和(24)即為分布式MIMO雷達進行相干處理時，模糊函數沿x軸和y軸切割得到的圖形主瓣寬度的數學近似表達式，兩式可用于衡量不同系統參數、不同布陣形式下的二維分辨能力。由式(23)和(24)可知，分布式MIMO雷達在相干處理情況下的分辨率具有以下特點：

1) 當陣元在局部圍繞著目標分布時，信號帶寬對分辨率影響不大；

2) 分辨率正比于發射信號波長λ，反比于發射信號中心頻率fc，這是因為相干處理主要利用回波的相位信息進行定位。波長越短，則相位隨目標位置變化的速度越快，分辨率越高；

3) 分辨率與各發、收陣元相對目標的角度有關，與各陣元和目標之間距離無關。可以直觀地理解為，從不同側面觀察目標能獲得更高的分辨率，這也就是分布式MIMO雷達的優勢所在；

4) 對于x方向(橫向)分辨率而言，假設發射、接收陣元分布在θmin≤θ≤θmax范圍內，其中-90°≤θmin≤θmax≤90°.θmin越小、θmax越大，分辨率越高，即陣元相對于目標張角越大，分辨率越高，這與傳統雷達通過大孔徑獲得橫向高分辨類似；

5) 對于y方向(縱向)分辨率而言，假設發射接收陣元分布在|θ|min≤|θ|≤|θ|max范圍內，其中0°≤|θ|min≤|θ|max≤90°.|θ|min越小、|θ|max越大時，分辨率越高。

3.仿真分析

3.1 公式計算與仿真結果對比

根據文獻[3]中分布式MIMO雷達的模糊函數，即式(12)，仿真陣列相對目標張角不同的情況下，模糊函數沿x軸、y軸切割得到圖形的主瓣實際寬度MW，然后與文中推導的式(23)和(24)計算得到的主瓣拋物線寬度PW進行比較，以驗證所得公式的正確性。假設MIMO雷達收發陣元在同一圓弧上均勻分布。該圓弧以原點為圓心，半徑為5 000 m，左右兩端和原點連線與y軸夾角分別為-θmax和θmax.θmax從30°到85°變化，步長為5°.各發射信號相互正交，中心頻率為5 GHz，具有矩形的頻率響應。仿真信號帶寬分別為50 MHz和500 MHz，陣元數量分別為5發6收、9發9收、12發12收，共六種情況。得到主瓣寬度取實際寬度與信號波長λ的比值，結果如圖3所示。

(a) 5發6收 (b) 9發9收 (c) 12發12收

(e) 5發6收 (f) 9發9收 (g) 12發12枚圖3 不同條件下分辨率隨陣元角度范圍變化情況

從圖3可以看出，在不同信號帶寬、不同陣元數量、不同陣列相對目標張角情況下，式(23)和(24)的計算結果都與文獻[3]模糊函數沿x軸、y軸切割得到圖形的主瓣寬度近似相等，很好地反映出分辨率隨陣列相對目標張角增大而提高的趨勢。

3.2 不同陣列的分辨率對比

根據二維模糊函數，即式(12)，仿真比較3種不同布陣形式情況下分布式MIMO雷達的分辨率，觀察分辨率是否具有第2小節總結的特點。假定雷達具有8個發射陣元、8個接收陣元；在每種情況下，收發陣元位置相同；不同情況之間，收發陣列相對目標的張角相同。第1種為線陣，發射(接收)陣元相對目標角度分別為[-45° -38° -31° -24° 24° 31° 38° 45°]；第2種也為線陣，各發射(接收)陣元相對目標的角度在-45°≤θ≤45°范圍內均勻分布；第3種情況，發射(接收)陣元在圓弧上均勻分布，該圓弧以坐標原點為圓心，兩端與原點連線和y軸夾角分別為-45°和45°；3種陣列陣元位置如圖4所示。其余仿真參數與3.1節相同。圖5和圖6分別為3種陣列情況下，模糊函數沿x軸、y軸切割得到的圖形。

圖4 三種陣列發射(接收)陣元位置示意圖

1) 前兩種陣列陣型相同，均為線陣，但陣元間距不同。二者θmin、θmax、|θ|max相同，線陣1的|θ|min大于線陣2的。從圖5可以看出，兩種線陣情況下模糊函數在x軸方向主瓣寬度基本相等，線陣1的模糊函數在y軸方向的主瓣寬度大于線陣2的，即線陣1縱向分辨率差于線陣2.驗證了前一小節得出的分辨率特點4)和5).

2) 后兩種陣列的陣型不同，對應陣元與坐標原點距離不同，但兩種陣列各對應陣元相對于目標的角度相同，從圖5和圖6可以看出，兩種陣列模糊函數沿x軸、y軸切割圖形基本相同。結論與分辨率的特點3)吻合。

4.結 論

分布式MIMO雷達工作在相干處理模式時具有很高的二維分辨率，文中通過對分布式MIMO雷達模糊函數進行數學分析，利用拋物線擬合法計算模糊函數主瓣寬度，推導了其橫向、縱向分辨率的數學表達式，并在此基礎上分析了影響分辨率的因素。仿真結果表明，所得數學表達式和關于影響分辨率因素的分析結論，能準確反映分辨率隨各種參數變化的情況。這些對于分布式MIMO高分辨雷達的系統參數選擇，以及陣元布置具有指導意義和工程應用價值。

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