大旋轉角三維直角坐標轉換的一種線性模型

王傳江 王解先 顧建祥

(1.上海市測繪院，上海 200063; 2.同濟大學，上海 200092)

三維直角坐標轉換中，采用7參數(3個平移參數、3個旋轉參數、1個尺度參數)的Bursa-Wolf模型只適用于小角度下的坐標轉換，當在兩坐標系統下有3個或3個以上公共點，就可解算出7個轉換參數。空間大地測量、三維激光掃描、近景攝影測量的交會攝影、測量機器人自由設站以及GIS中，都遇到大量的大旋轉角三維直角坐標的轉換問題。

在3個或3個以上公共點不共線的情況下對大角度的空間直角坐標轉換，一種方法是對非線性模型線性化，陳義等提出了以方向余弦為參數適用于任意旋轉角的空間轉換方法[3]，姚吉利等提出了羅德里格矩陣代替方向余弦矩陣的方法[4]。另一種通過引入反對稱矩陣等方式，形成線性方程解算，姚吉利提出了3維坐標轉換7參數直接計算的模型[5]，潘國榮等提出一種基于空間向量旋動理論的三維基準轉換模型[6]，秦世偉等提出了以轉換矩陣9元素為參數的坐標轉換的簡便模型，但其在3個公共點時，可能導致矩陣病態[7]。

在3個或3個以上公共點時，提出了通過構建輔助公共點，以平移量及旋轉矩陣元素為參數組成線性方程，按最小二乘法完成參數計算及坐標轉換，適用于任意旋轉角的空間直角坐標轉換。

1 數學模型

1.1 輔助公共點的計算：

設3個不共線公共點A1、A2、A3在A坐標系中坐標分別為A1(x1，y1，z1)、A2(x2，y2，z2)、A3(x3，y3，z3)，有A1、A2、A3可形成一個空間平面，其法向量按公式(1)計算

(1)

(2)

給定一個合適的距離D，在該直線上距A1點距離為D的空間輔助點FDA1坐標按公式(3)計算

(3)

公共點A1在B坐標系中可按上述方法計算相對應的輔助點坐標，這里距離須考慮比例系數，則D′=(1+m)D；同樣，在公共點A2處，按上述思路計算另一輔助公共點FDA2在兩個坐標系中的坐標。

由坐標計算距離，通過相應距離的比較得出尺度參數，在文獻[4] 、[6]中均有詳細論述，設dij、Dij為Ai、Aj兩點在坐標系A和坐標系B中的距離，對n個公共點，可計算n(n-1)/2條邊比例系數，尺度參數的最佳估計值為n(n-1)/2個尺度參數的平均值，尺度參數可按公式(4)計算

(4)

1.2 空間轉換的數學模型

設有兩個空間直角坐標系分別為O-XYZ和O′-X′Y′Z′(如圖1所示)，兩空間直角坐標系間有七個轉換參數(3個平移參數、3個旋轉參數和1個尺度參數)。

圖1 空間轉換

由空間直角坐標系A到空間直角坐標系B的轉換關系為

(5)

R(ωX).R(ωY).R(ωZ)為旋轉矩陣，記為R=R(ωX).R(ωY).R(ωZ)。

(6)

以R中9個元素為參數，將1+m乘入矩陣中各元素中，令

(7)

將(7)式代入公式(5)中，以平移3參數及旋轉矩陣9參數共12個元素為未知參數，則公式(1)可寫成如下形式

(8)

式中：X1×12=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33ΔX0ΔY0ΔZ0]T

當有不共線3個公共點時，按公式(3)計算出2個輔助公共點，則由這5個公共點根據公式(8)可組成15個方程，按最小二乘法計算出X1×12；同上，當有n個公共點，可組成3(n+2)個方程，完成參數計算及坐標轉換，計算出旋轉矩陣后，由公式(6)可計算3個旋轉角。

2 數據驗證

為驗證坐標轉換模型的正確性和可靠性，采用文獻[3]中的數據，節點的設計坐標和實測坐標見表1，文獻[3]算法與本文算法分別計算的轉換坐標及較差數據見表2。

表1 節點的設計坐標和實測坐標 mm

由表1數據按上述坐標轉換公式求得的轉換參數為

(1+m)=1.001 442 289 3

旋轉矩陣

R=

根據計算結果，本文算法可實現三維直角坐標的數據轉換，表2數據表明，二者的轉換精度基本一致。

表2 轉換后的節點坐標和坐標較差 mm

3 結論

將空間直角坐標轉換問題從非線性的的形式轉化為線性的、參數相關的形式，使解算公式簡單明了，避免了采用非線性方程線性化迭代求解的模型對參數初值、迭代收斂等問題的考慮，經實測數據及模擬數據檢驗，算法解算精度較好，可靠性高。在3個或3個以上公共點的情況下，模型可完成任意角度情況下的三維直角坐標的轉換，對工程應用有參考意義。

參考文獻

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[2] 朱華統，楊元喜，呂志平.GPS坐標系統的變換[M].北京：測繪出版社，1994

[3] 陳義，沈云中，劉大杰.適用于大旋轉角的三維基準轉換的一種簡便模型[J].武漢大學學報：信息科學版，2004，29(12)：1101-1104

[4] 姚吉利，韓保民，楊元喜.羅德里格矩陣在三維坐標轉換嚴密解算中的應用[J].武漢大學學報：信息科學版，2006，31(12)：1094-1096

[5] 姚吉利.3維坐標轉換參數直接計算的嚴密公式[J].測繪通報，2006(5)：7-10

[6] 潘國榮，趙鵬飛.基于空間向量的三維基準轉換模型[J].大地測量與地球動力學，2009，29(6)：79-82

[7] 秦世偉，谷川，潘國榮.任意旋轉角坐標轉換的簡便模型[J].工程勘察，2009(6)：62-65

[8] 王解先.七參數轉換中參數之間的相關性[J].大地測量與地球動力學，2007，27(2)：43-46

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[10] 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢：武漢大學出版社，2005