互質因子攝動系統的非脆弱控制

孟新宇，寧 輝，王道波，王西超

（1.南京航空航天大學 自動化學院，南京210016；2.西北核技術研究所，烏魯木齊841700）

控制系統的魯棒穩定性是指按標稱系統設計的控制器，能使攝動后的系統在某種度量意義下，其附近的一族系統均穩定。在目前大部分相關文獻中，通常僅對被控對象攝動情況下的閉環系統的魯棒穩定性進行了分析［1－2］。然而，在實際問題中，由于元件老化、參數漂移等多種因素，控制器本身的攝動也是不可避免的。眾所周知，系統的各項性能指標在攝動情況下不一定能夠維持，因此，近年來系統的性能指標對攝動的敏感性、魯棒穩定性以及非脆弱性等問題，已逐漸成為國內外學者理論研究的熱點，并已初步取得一些研究成果［3－4］。在眾多研究方法中，互質因子攝動描述已被證明是一種有用的不確定性描述方法，它允許攝動后的系統與標稱系統有不同的不穩定極點和不穩定極點的數目，且不需要對被控對象和控制器作某些附加的假設，因此研究互質因子攝動系統的非脆弱魯棒性問題，更具普遍意義［5－7］。另外，工程上要求系統應有良好的干擾抑制能力，而靈敏度正反映了系統對干擾的敏感性。本文運用該方法，對系統對攝動的靈敏度、魯棒穩定性及非脆弱性進行討論。

1 問題描述

當矩陣

考慮圖1所示的標稱反饋系統，不難得出

圖1 反饋系統

可逆時，方程（1）有唯一解，稱系統（1）是適定的。圖1反饋系統適定的充分條件是P（s）為嚴格真的。假定P（s）滿足嚴格真的條件，則由式（1）得

的閉環傳遞函數為

稱S（P，K）＝（I－KP）－1為系統的靈敏度函數矩陣，它反映了系統對外部干擾的敏感性。

對P（s）和K（s）作雙互質分解

在以下討論中均要求K（s）能鎮定P（s），即有H（P，K）∈RH∞，從而可推斷出靈敏度函數矩陣S（P，K）∈RH∞。設靈敏度函數矩陣S（P，K）和閉環傳遞函數陣H（P，K）的H∞范數滿足以下約束：

式中，hi（i＝1，2）為正常數。

與標稱系統相對應，分別用SΔ、HΔ、PΔ、KΔ表示攝動系統的靈敏度函數矩陣、閉環傳遞函數矩陣、被控對象傳遞函數和控制器傳遞函數。

本文所討論的非脆弱魯棒穩定性問題，就是對系統（1）有式（3）所示的雙互質分解，在互質因子均存在攝動的情況下，使得攝動系統靈敏度函數矩陣SΔ和閉環傳遞函數陣HΔ均仍保持穩定，且其H∞范數保持在有限范圍內。

2 相關引理

引理1［1］設Δ∈RH∞，若‖Δ‖∞＜1，則有

引理2［1］若P（s）和K（s）有式（3）所示的雙互質分解，且系統是能夠穩定的，則可以選擇穩定的矩陣M，N，?M，?N，U，V，?U，?V，使下式成立

引理3［3］設標稱系統（P，K）是穩定的，且有穩定的右互質分解P＝NM－1，K＝UV－1，則對于被控對象和控制器的攝動族

σ（·）表示最小奇異值。

3 主要結果

由引理3可得如下推論：

推論1 設標稱系統（P，K）是穩定的，且有穩定的左互質分解P＝?M－1?N，K＝?V－1?U，則對于被控對象和控制器的攝動族

σ（·）表示最小奇異值。

證明過程與引理3的證明過程類似，此略。

定理1 考慮圖1所示的標稱反饋系統，設被控對象P有右互質分解P＝NM－1，控制器K有左互質分解K＝?V－1?U，且滿足式（6），假定P和K存在互質因子攝動ΔM，ΔN，Δ?U，Δ?V∈RH∞，若滿足以下兩個條件：

式中，0≤α1＜1.

則有：

1）靈敏度函數攝動矩陣

保持穩定，且滿足

2）閉環傳遞函數攝動矩陣HΔ（P，K）保持穩定，且滿足

很顯然，由式（6）得?VM－?UN＝I.令

再由引理1得（I＋Δ1）－1∈RH∞，又因為

則由式（4）與定理條件得

同理可推出

證畢。該定理對被控對象右互質分解和控制器左互質分解情況進行分析，分別得出了靈敏度函數攝動矩陣和閉環傳遞函數攝動矩陣與原標稱矩陣之間的關系，及其在能穩定條件下H∞范數所滿足的條件。類似地，在被控對象左互質分解和控制器右互質分解情況下，可得如下推論：

推論2 考慮圖1所示的標稱反饋系統，設被控對象P有左互質分解P＝?M－1?N，控制器K有右互質分解K＝UV－1，且滿足式（6）假定P和K 存在互質因子攝動Δ?M，Δ?N，ΔU，ΔV∈RH∞，若滿足以下兩個條件：

式中，0≤α2＜1.

則有：1）靈敏度函數攝動矩陣

證明過程與定理1類似，此略。以上分別對兩種攝動情況下系統的非脆弱魯棒穩定性作了討論，這兩種情況之間的關系在下面的定理給出了回答。

定理2 圖1所示的標稱反饋系統，被控對象P和控制器K 有式（3）所示的穩定的雙互質分解，若其攝動族均能滿足定理1和推論2，則有又因為

代入得證。

4 結論

1）在推導過程中，引入了一個常數0≤αi＜1（i＝1，2）來衡量互質因子攝動的程度，如果αi＝0（i＝1，2），則有εi＝γi＝0（i＝1，2），即系統不存在任何攝動；

2）如果被控對象P和控制器K的攝動是單獨出現的，只需在上述定理中令εi＝0（i＝1，2）或γi＝0（i＝1，2）便可得到相應的結果；

3）不論被控對象P和控制器K的攝動程度如何，還是單獨出現攝動，均滿足定理2的內容。

研究了被控對象和控制器均存在互質因子攝動時，閉環系統的非脆弱魯棒穩定性問題，并相應地給出了兩類情況下的充分條件，并對兩類情況之間的關系作進一步研究，為互質因子攝動下魯棒控制器的研究與設計問題提供了基礎。

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