基于Bootstrap方法的風險價值VaR估計

【摘要】用近期的收益數據來擬合連續S曲線抽取Bootstrap樣本，再利用Bootstrap樣本計算風險價值VaR。實證分析表明，這種方法能較好利用近期的數據所反映的市場新情況。Bootstrap方法通過多次抽樣能得到大量Bootstrap樣本，然后進行VaR估計將提高估計的精確性和穩定性。基于Bootstrap方法的VaR估計可以較為理想地為人們進行股市投資提供一種切實可行的風險度量工具與辦法。

【關鍵詞】風險價值VaR Bootstrap方法 滬深股市

一、引言

隨著全球金融市場的聯系加深，金融市場互相影響，呈現出前所未有的波動性，商業企業和金融機構都面臨著日趨嚴重的金融風險。現在，風險管理已成為一個國家、一個金融機構乃至所有企業生存發展的核心能力之一。VaR的全稱是Value at Risk，按字面的解釋就是“處于風險狀態的價值”，它將不同交易、不同業務部門的市場風險集成一個數值來表示資產將面臨的最大損失，因此易于理解和管理。自1993年G30小組首次提出VaR的概念及1994年J.P.Morgan銀行首先公布了它的VaR系統后，在巴塞爾銀行監管委員會和國際證券委員會的推動下，VaR已成為度量市場風險的主流方法，目前已被全球各主要銀行、投資公司、證券公司及金融監管機檢驗廣泛采用。

現在VaR的研究主要集中在兩個方面，一是VaR計算方法的理論研究，提高VaR的計算精度和速度；二是研究VaR在風險管理中的應用，研究如何將VaR用于各種金融產品，使它更好地成為一種風險管理工具。較早的研究是1994年，JP Mor-gan 首先推出了VaR風險測量系統RiskMetrics。此后，Boudoukh 提出了一種RiskMetrics方法和歷史模擬法的混合方法，此外Venkataraman應用混合正態分布，Bauer應用Hyperbolic分布，Khindanova等應用穩定分布來改進正態分布假設對收益序列厚尾性的估計。非參數的VaR計算方法不需要對統計分布做出假設，而是直接用VaR的定義來計算，其研究也很受重視。Danielsson和Vries使用歷史模擬法進行VaR計算研究，Butler 和Schachter提出了基于核估計的歷史模擬法，Jorion和Dowd分別給出了蒙特卡洛模擬的VaR計算方法。總之，這二十多年來，VaR研究隨著金融市場的發展而發展，人們對其進行了大量研究工作。

我們研究如何使用Bootstrap方法估計VaR，是一種非參數的VaR計算方法，可以看做歷史模擬法進行VaR計算研究的一種改進。克服了歷史模擬法需要較長歷史數據進行VaR估計的缺點，而且不需要對收益的統計分布做出假設，避免了假設錯誤的風險。

二、Bootstrap方法與VaR理論

（一）Bootstrap方法簡介

Bootstrap方法是美國Efron教授提出的一種新的非參統計方法。基本思想是，設X1，X2，…，Xn是總體X的樣本，Fn(x)為其經驗分布函數，通過經驗分布函數Fn(x)抽取得到新樣本X*1，X*2，…，X*m，此新樣本稱為 Bootstrap樣本。而且原樣本X1，X2，…，Xn和Bootstrap樣本X*1，X*2，…，X*m都服從經驗分布函數Fn(x)，均可用于估計總體X的分布。特別地，當m>n時，即重新抽取的Bootstrap樣本的數量大于初始樣本X1，X2，…，Xn的數量，通過Bootstrap方法可以獲得總體更多的樣本，這有助于提高估計的精確性。Bootstrap方法的關鍵問題就是怎樣通過經驗分布函數Fn(x)獲得Bootstrap樣本X*1，X*2，…，X*m。

定理：設隨機變量X的分布函數為F(x)，而隨機變量U服從（0，1）上的均勻分布，則Y=F-1(U)的分布函數也是F(x)，其中F-1為F(x)的逆函數。

由此定理可知，要想利用經驗分布Fn(x)抽取總體X的樣本X*1，X*2，…，X*m，關鍵是求得Fn(x)的逆函數。我們通過最小二乘法以一條連續S曲線對經驗分布Fn(x)進行擬合，然后再求該S曲線的逆函數，具體步驟如下：

1.對原始樣本排序。將原始樣本X1，X2，…，Xn從小到大排序得到次序統計量X(1)，X(2)，…，X(n)。

2.用S曲線擬合經驗分布函數Fn(x)。連續S曲線方程為，我們利用原始樣本使用最小二乘法可以計算a和b的值，從而實現對經驗分布函數Fn(x)的擬合。擬合給果如圖1。

圖1 S曲線擬合經驗分布函數Fn(x)

3.產生Bootstrap樣本X*。由可知其逆函數為：。生成區間（0，1）上均勻分布的m個隨機數，代入上式便可產生X*1，X*2，…，X*m個Bootstrap樣本。

（二）VaR理論

VaR是指在一定的概率水平(置信度)下，某一金融資產或證券組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失。如果用收益變量來定義VaR，則數學定義可表示下面的公式：

(1)

其中，X為金融資產在持有期內的收益，X的概率密度函數為f(x)，α為給定的小概率，c=1-α為置信水平。上式表明金融資產或者證券組合在未來一個持有期內，金融資產損失值等于或者大于VaR的概率為α。（注意上式VaR的負號是必須的，因為上式計算用的是資產收益，與資產損失值為相反數。）

從VaR的定義可以看出，VaR有兩個重要參數，即持有期、置信水平，這兩個參數不同得到的VaR是不一樣的。例如，持有期為5天的金融資產，其置信水平為95%的VaR是10萬元。其含義是，我們有95%的把握保證，該金融資產在未來的5天內最大損失不會超過10萬元。

設X為金融資產在持有期內的收益，X1，X2，…，Xn是其樣本，將該樣本從小到大排序為為次序統計量X(1)，X(2)，…，X(n)，則在置信水平（1-α）下的VaR的次序統計量的估計為：VaR=-X([nα]+1)，其中[nα]表示對nα取整數。當X1，X2，…，Xn是來自歷史數據時，這樣的VaR的估計即為歷史模擬法，這時通常需要n>200個數據才能有較好的結果。但是，由于金融數據具有時效性，過久的歷史數據不能很好地預測未來。因此，我們可以使用上節的Bootstrap方法，只用近期的收益數據來擬合經驗分布函數Fn(x)，然后生成X*1，X*2，…，X*m個Bootstrap樣本。然后用X*1，X*2，…，X*m個Bootstrap樣本估計VaR，得VaR=-X*([nα]+1)。在這里Bootstrap樣本個數m可以取得較大，從而得到較高精度的VaR估計結果。

三、實證分析

為更好地對滬深股市的風險進行對比，本文選取上證綜指(000001)和深圳成指(399001)作為研究。我們分別選取了從2012年3月1日到2012年4月1日的樣本數據（收盤價）進行實證分析。本文采用對數收益率計算股票的收益率，即。其中，Rt-1和Rt分別表示股票在第t-1日和第t日的收盤價。

我們通過S曲線擬合分布函數Fn(x)應用Bootstrap方法抽取Bootstrap樣本，計算不同α值下VaR的結果（如表1）。從相同α值下VaR值中可以看出，深股市的風險比滬市略高，這和深股市有較多中小上市公司是吻合的。

四、結語

本文只用近期的收益數據來擬合連續S曲線抽取Bootstrap樣本，利用Bootstrap樣本計算風險價值VaR。實證分析表明，這種方法能較好利用近期的數據所反映的市場新情況。Bootstrap方法通過多次抽樣能得到大量Bootstrap樣本，然后進行VaR估計將提高估計的精確性和穩定性。這種方法可以較為理想地為人們進行股市投資提供一種切實可行的風險度量工具，為人們投資組合提供必要的依據，幫助人們在風險難測的股票市場可以將風險控制在一定的范圍內進行投資。

參考文獻

[1]JP Morgan.RiskMetrics-Technical Document.3 edition[M].NewYork: Morgan Guaranty Trust Company Global Research，1995.

[2]Boudoukh J，Richardson M，Whitelaw R. The best of both worlds[J].Risk， 1998，11(05):64-66.

[3]Venkataraman S. Value-at-Risk for a Mixture of Normal distributions: The Use of Quasi-Bayesian Estimation Techniques[J].Economic Perspectives，Federal Reserve Bank of Chicago，1997，21(02):2-13.

[4]Danielsson. Horizon Problems and Extreme Events in Financial Risk Management [J].Fed-eral Reserve Bank of New York Economic Policy，1998b，10:109-118.

[5]Butler J S and B Schachter. Estimating Value-at-Risk by Combining Kernel Estimation with Historical Simulation[J].Review of Derivatives Research， 1998(01):371-390.

[6]B. Efron，Bootstrap methods:Another look at the Jackknife[J].Ann.Statist， 1979，7(01):1-26.

項目來源：廣西教育廳項目（200911LX411）：中國股市風險度量的VaR模型研究

項目負責人：夏師

作者簡介：夏師(1973-)，男，廣西百色市人，百色學院數學與計算機信息工程系講師、碩士，研究方向：金融統計、數學模型。

（責任編輯：劉晶晶）