多標的資產期權定價的Monte Carl模擬方法及其應用研究

摘 要：鑒于一般的偏微分解析方法和傳統數值方法處理高維期權定價問題存在很大困難，本文在單標的資產價格隨機模型的基礎上，推導了具相關性的多標的資產價格的隨機過程公式，以此構造蒙特卡羅模擬高維歐式期權定價的隨機模型，給出模擬算法，并分析了影響蒙特卡羅模擬效果的幾個關鍵因素，模擬算例的結果顯示模擬效果較好。

關鍵詞：多標的資產；期權定價；隨機微分方程；蒙特卡羅模擬

中圖分類號：F830.9 文獻標識碼：Ａ 文章編號:１００３－９０３１(２０12)04－００39－０4 DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2012.04.10

期權定價方法有解析方法和數值方法[1]，對于標準期權或不是太復雜的衍生證券在一些必要的假設下存在偏微分方程的解析解或稱封閉解。但是對于非標準的和高維問題的新型期權[2]，雖然理論上存在著復雜的偏微分數學模型和對應的數學解析式，但很難得到有效的計算結果。從數學角度講，多標的資產期權定價問題就是求解一個高維的反拋物型方程具有不同的終值條件的定解問題，因此利用偏微分方程從理論上可以求出高維期權的Black-Scholes方程和相應的布萊克-斯科爾斯的公式，然而，對于這樣一個被積函數帶有奇性的多重積分的計算仍然是一個很困難的問題[3]。同時，期權定價的傳統的數值方法如樹圖法[4]、有限差分法等[5]，對于高維期權等復雜衍生證券這些傳統的數值方法受到很大限制，難以有效地實施。本文鑒于數學解析方法和傳統的數值方法對多標的資產期權定價問題的困難，用蒙特卡羅模擬方法來對高維期權進行定價[6]。當衍生證券標的數較多時，蒙特卡羅模擬是一個比較有效的數值分析方法[7]。

關于多標的資產期權定價問題，現有文獻中極少有對多標的資產價格的隨機演化模型進行詳細推導，而這是多標的資產期權定價的關鍵前提。本文在于推導了相關性的多標的資產價格的隨機過程公式和蒙特卡羅模擬的隨機模型，并給出模擬算法和算例。期權定價的關鍵在于確定多標的情形下具有相關性的各個標的資產價格行為的演化過程，從而得到各標的資產在有效期限內的價格進而收益。根據蒙特卡羅模擬原理和過程，蒙特卡羅模擬的關鍵之一是隨機模擬路徑的構造，它決定了模擬路徑逼近真實路徑的程度。如果能夠確定多標的資產價格行為的隨機過程，就可以利用蒙特卡羅的方法對標的價格進行模擬，并最終求得期權價格。

一、多標的資產價格的隨機過程分析

多標的資產價格的隨機演化過程可以認為是單標的資產價格隨機過程推廣到多維情形的，基于多個一般的單標的資產價格的隨機微分方程，利用Ito定理推導多標的資產價格行為的隨機微分方程[8]。

（一）構造多標的資產價格的隨機微分方程模型

基本假設1：對每個標的資產價格Si（t），滿足一般的單標的資產價格行為的隨機微分方程[9]：

其中，Si（t）為標的資產的價格，i為其預期收益率，i是波動率；i，i均為常量； xi（t）為標準一維布朗運動，即維納過程。

基本假設2：多標的資產價格之間存在相關性，這種相關性表現為Corr（xi，xj）=?籽ij。由于實際中，各個標的資產之間必然存在一定的相關性，因此這個假設是合理并且是必要的。

基本假設3：其他滿足經典Black-Scholes模型的所有假設。

基于以上假設，下面給出多標的資產價格隨機微分方程模型的推導過程。首先，將隨機微分方程組即（1）式描述成矩陣形式為：

令X（t）=（1x1（t），2x2（t），……dxd（t））T，xi（t）為標準維納過程或一維布朗運動，則根據多維布朗運動的定義容易證明隨機向量X（t）=（1x1（t），2x2（t），……dxd（t））T服從多維布朗運動，且協方差矩陣Cov（X（t））ij=ij?籽ijt，記為X（t）~BM（0，∑），X（t） N（0，t，t∑），ij?籽ij=∑ij。抽取滿足上述隨機過程的多元隨機變量X（t）等價于構造關系式X（t）=t+AW（t），使得∑=AAT成立，A為下三角矩陣[11]。這里取為d維零向量，W（t） BM（0，Id）即W（t）為標準d維布朗運動，W（t）=（W1（t），W2（t），……Wd（t））T，X（t） N（0，tId）。構造關系式：X（t）=AW（t）。然后，對X（t）=AW（t）兩邊微分得到：dX（t）=AdW（t），寫成矩陣形式為：

dX（t）=idx1（t）┇ddxd（t）=A11 0 0┇ ?塤 0Ad1 … Adddw1（t）┇dwd（t） （3）

將dX（t）=AdW（t）矩陣形式即（3）式的每個分量代入隨機微分方程組即（2）式，得到多標的資產價格的隨機微分方程模型：

=idt+Aijdwj（t），i=1，2，…d （4）

其中，dwj（t）=ZjSi(tk)e， Zj N（0，1）。

（二）推導多標的資產價格的離散隨機過程公式

對于隨機微分方程組（4）式，將有效期[0，1]分成n等份，將其離散成0=t0

dSi=iSidt+SiAi·dW （5）

對（5）式 應用Ito定理

dG=dX++b2dt （6）

這里G是X和t的連續可微函數， dW是標準d維布朗運動，推廣到多維情形。由Ito公式得到：

dG=（iSi++Si2AiAiT）dt+SiAi·dW（7）

令G=lnSi，（注意這里G只看作Si的函數，盡管Si是t的函數）。則有

=，=-，=0，

將它們代入 （7）式得到

dG=（i-AiAiT）dt+Ai·dW （8）

由于Ai=（Ai1，Ai2，……，Aid）是下三角矩陣A的第i行元素，且AAT=∑，從而得到A2i1+A2i2+……+A2id=∑ij，即AiAiT=∑ij，又因為∑ij=21，所以AiAiT=21。將此式代入（8）式并還原，得到

dG=（i-21）dt+Aijdwj（t）（9）

把dwj（t）=Zj， 代入（9）式得到

dG=（i-12）dt+AijZj （Zj N（0，1）） （10）

然后，把G=lnSi代入（10）式，方程兩邊對t在（tk，tk+1）上積分，（k=0，1，2，…n-1），則有

dlnSi(t)=(i-21)dt+(AijZk+1，j)（11）

整理得

Si(tk+1)=Si(tk)e（12）

至此，得到多標的資產價格Si(t)在各個離散時間點0=t0

二、蒙特卡羅模擬多標的資產期權定價的隨機模型與算法

由多標的資產價格離散隨機過程公式（12），對k=0，1，2，…n-1，從k=n-1開始依次向前迭代，得到各個標的資產在到期日的價格隨機過程公式：

Si（tn）=Si（tn-1） exp（（i-21）（tn-tn-1）） exp（AijZn，j）（13）

令i-21=mi，=， 則有

Si（tn）=Si（t0） exp（（miT+（Aij（Z1，j+Z2，j+…Zn，j）））

=Si（t0）exp（miT+（Aij（Z，j））（14）

這里，Zj=Z1j+Z2j…+Znj，j=1，2，…d。

將（14）式表示成向量形式：

Si（tn）=Si（t0） exp（（miT+（（Ai）1×d Zd×1））（15）

其中，Si（t0）是標的價格初始值，（Ai）1×d是下三角矩陣A的第i行元素；Zd×1=（Z1，Z2，…Zd）T，Zj=Z1j+Z2j，…Znj，Zkj N（0，1），（k=1，2，…n）且相互獨立。

（一）蒙特卡羅模擬多標的資產歐式期權的隨機模型

利用到期日多標的資產價格的隨機過程公式（15），可以對高維歐式期權進行模擬定價，現在對高維歐式期權中的歐式一攬子期權給出蒙特卡羅定價的隨機模型。設Cj為第j次模擬的期權價格，也即是第j條樣本路徑的期權價格終值，payoff（j）為第j次模擬時的期權的到期日收益，M為模擬的總次數或樣本路徑數目，Sji為第j次模擬的各個標的資產到期日的價格，ai為各個標的資產的數量，k為到期日執行價格，無風險利率為r，期權有效期的時間段為T。歐式一攬子期權收益特性為：payoff（j）=max{（aiSji（T）-K），0}。

根據期權定價的風險中性定價原則，將到期日收益貼現到當前時刻即得到第j次模擬的期權價格Cj，

Cj=e-rTpayoff（j）=e-rTmax{（aiSji（T）-K），0）}（16）

再根據蒙特卡羅方法的原理，歐式一攬子期權的蒙特卡羅模擬定價的隨機模型為：

C=Ci={e-rTmax（（aiSji（T）-K），0）}（17）

（二）蒙特卡羅模擬多標的資產歐式期權

輸入: delta，rol，U，S，alpha，M，N，T，K，d，rate

輸出: 最終模擬的期權價格C

參數說明：delta=（1，2，…d）T是標的變量的方差矩陣；rol（?籽ij）d×d是標的資產價格的對稱的相關系數矩陣；U=（1，2，…d）T是各個標的資產的預期收益率向量；S=（S1，S2，…Sd）T是各個標的資產價格初值向量；aplha=（a1，a2，…ad）是多標的資產的權向量；M為模擬次數，N為總的時間離散數目，T為有效期時間長度，K為執行價格，d為標的個數，rate為無風險利率（具體算法從略，可向作者索取）。

三、模擬算例

模擬一個5標的歐式一攬子看漲期權，各參數如下：股票價格初值為S=[50 45 51 48 56]，各個股票價格的波動率分別為 delta=[0.1 0.2 0.15 0.21 0.17]，預期收益率U=[0.12 0.15 0.26 0.21 0.3]，各股票價格相關系數為ρ12=0.4、ρ13=0.3、ρ14=0.15、ρ15=-0.2、ρ23=0.6、ρ24=0.2、ρ25=0.3、ρ34=-0.12、ρ35=0.1、ρ45=0.5，各個股票權重分別為α1=α2=α3=α4=α5=0.2，期權有效期時間為T=1 (時間為年) ，到期日的執行價格為K=50，無風險年利率為r=0.1。由于本文使用的隨機數是區別于低差異擬隨機數的偽隨機數，所以稱這種蒙特卡羅模擬為偽蒙特卡羅P-MC（Pseudo- MonteCarlo）。模擬結果見表1。

從圖形可以看出，隨著模擬次數的增加，模擬誤差整體趨勢減少，但也有較大波動，說明偽蒙特卡羅模擬的誤差不會因為次數增加而嚴格遞減，原因在于偽隨機數的分布不均勻和估計存在一定的方差。另外，隨著模擬次數的增加，估計的區間大小在逐漸變小，并且區間縮小的幅度減少，說明模擬次數越多，估計精度和可靠性越高。如果給定一個模擬的精度，就可以確定模擬的次數，從而提高模擬效率。

四、結束語

多標的資產期權定價的關鍵問題在于確定相關性的多標的資產價格行為的演化過程，利用多維布朗運動和伊藤定理，可以推導出具有相關性的多標的資產價格行為的隨機微分方程，進而可以推導期權在有效期內各個時間點上的收益函數。本文重點推導了多標的資產價格的隨機微分方程模型和離散隨機過程公式，從而為高維期權定價無論歐式還是美式的奠定了數學基礎。

從多標的價格的隨機微分方程模型的推導過程來看，可以充分利用多標的資產價格的相關性，對協方差矩陣進行分解，進而構造滿足多維布朗運動的隨機向量。隨機模型的模擬實際價格的效果在很大程度上取決于協方差矩陣，該矩陣實際上包括兩方面的參數，即標的資產的預期收益率和相關系數。實際模擬結果與這兩個參數有很大關系，能否適當地估計標的資產的預期收益率和它們之間的相關系數，是影響蒙特卡羅模擬多標的資產期權定價的一個重要因素。實際中這兩個參數是動態變化的，如果能夠基于一般參數過程來模擬，效果應該更佳。蒙特卡羅模擬結果表明，對于高維歐式期權定價問題不失為一種有效的數值分析方法。但蒙特卡羅模擬效果不僅取決于隨機模擬路徑的構造，還有高維隨機數的質量（分布均勻性）和估計方差。因此，如何構造更合理的隨機過程、選擇分布均勻性更好的高維隨機數和運用減少方差的方法，對于提高蒙特卡羅模擬效果具有重要的意義，也是蒙特卡羅算法進一步優化改進的重要方向。

（特約編輯：羅洋）

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