愛因斯坦巧用相似證明勾股定理

學過幾何的人都知道勾股定理(在西方又叫畢達哥拉斯定理)．它是幾何中一個重要的定理，應用十分廣泛． 迄今為止，關于勾股定理的證明方法已有400多種，成為世界上證明方法最多的定理之一． 像三國時期的數學家趙爽、古希臘數學家歐幾里得、美國第20任總統加菲爾德、畫家達?芬奇、偉大的物理學家愛因斯坦等，都用各自的方法證明了勾股定理． 愛因斯坦12歲時，在未學過平面幾何的情況下，根據三角形的相似特性(兩直角三角形的相似，完全取決于它們的一個銳角，如果有一銳角相等，二者相似；否則，不相似)，獨立地給出了畢達哥拉斯定理的一個證法，為此，他長時間地激動！這雖然僅涉及一個非常古老的著名定理，他卻經歷了發現者首次的快樂． 而且這一證法是畢達哥拉斯定理中最簡單和最好的證法，證法如下.

已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

求證：AC 2+BC 2=AB 2．

證明：過C作CD⊥AB于D．

∵ CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB．

又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．

∴ =，得AC 2=AD?AB． 同理BC 2=BD?AB．

∴ AC 2+BC 2=AD?AB+BD?AB=(AD+BD)?AB=AB 2．

愛因斯坦之所以在12歲時完成了常人無法達到的成果，是由于他天賦的好奇心、敏銳的理性思維、刻苦的鉆研精神以及啟蒙者對他的諄諄教導． 雖然在公元前歐幾里得的《幾何原本》中，已經有了這種證法，但12歲的愛因斯坦證明出畢達哥拉斯定理，卻是常人很難達到的成就．

需要說明的是，愛因斯坦的證明方法用到了“相似三角形的對應邊的比相等”，其實也可應用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”證明． 即由△ACD∽△ABC得=．同理=．

∴+=+===1．

∴ AC2+BC2=AB2． 這種證法也十分簡捷．

為了開拓同學們的視野，下面再介紹兩種利用相似證明勾股定理的方法：

證法1 如圖2，延長CA至D，使AD=AC，延長CB至E，使BE=BC． 連接DE，過點A作AM⊥DE，過點B作BN⊥DE，垂足分別為M、N．

易證△ABC∽△DAM． ∴=，即AC?AD=DM?AB．

而AD=AC，∴ AC2=DM?AB．

同理BC2=EN?AB．

而AB為△CDE的中位線，四邊形ABNM為矩形，

∴ DE=DM+EN+MN=DM+EN+AB=2AB，∴ DM+EN=AB．

∴ AC2+BC2=DM?AB+EN?AB=(DM+EN)?AB=AB2．

說明：上述證法是美國權威雜志《數學教師》上面的證法．

證法2 如圖3，分別過點A、B作BC、AC的平行線，相交于點D．

易證四邊形ACBD為矩形．

于是AC=BD，AD=BC，∠BCD=∠ABC=∠ADC=∠BAD．

過點C在∠ACB內部作∠ACE=∠BCD．

又∠ACB=∠CBD=90°，∴△ACE∽△DCB．

∴ =，即AC?BD=AE?CD．①

而∠BEC=∠BAC+∠ACE=∠BAC+∠BAD=∠CAD．

∴△BEC∽△ADB． ∴ =，即AD?BC=BE?AB．②

① 、 ②兩邊分別相加，得AC?BD+AD?BC=AE?CD+BE?AB．

即AC2+BC2=AE?AB+BE?AB=AB(AE+BE)=AB2．