舉一反三 融會貫通

孔子《論語·述而》：“舉一隅，不以三隅反，則不復也。”

體現了孔子“舉一反三”的創新思想，孔子重視的是學生的主體性，強調實際屬于學生自己的體驗。而“不啟”“不發”“不復”則更表現出了孔子的態度：拒絕被動消極的、灌輸式的教學，與其這樣教學生，干脆就不要教。當學生進入積極思維狀態時，教師應適時誘導、引發，幫助學生打開知識的大門，端正思維的方向，達到舉一反三的目的，最大限度激發學生的積極性和創造性。

《普通高中數學課程標準》指出：數學學習不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應歸納類比、抽象概括、反思建構等，通過自己的主動性，力求使學習過程變成“再創造”過程，培養數學素養，提升數學能力。在學習過程中要不斷地舉一反三，方能融會貫通。

一、知識生成，舉一反三

數學特級教師孫維剛在教學中堅持每道例題、每個定理、每個公式都是引導學生自己動手完成的，都是在既見樹木又見森林的狀況下進行的；他提倡在知識上指導學生注意追根究底，尋找知識之間的聯系和規律，在比較中學習新知識，站在哲理的高度思考問題，注重聯想。這充分說明了在由舊知推導、學習新知的過程中，要用好、用足舊知與新知的關系，以得到最大化的新知生成，這也正是舉一反三的過程。

在教“數列的求和”這一節時，學生已掌握了等差、等比數列的求和公式，如何引導學生在充分利用舊知的基礎上，自己主動的、舉一反三出一些較復雜的常見數列的求和方法，以形成整體認知。筆者是這樣設計的：

師：請同學們運用等差、等比數列的求和公式完成下面三小題：

（1）1+3+5+…+2n-1；

（2）1+2+22+23+…+2n-1；

（3）1+3+5+…+2n+1。

較復雜的數列都是由等差、等比數列等特殊數列通過一些運算符號復合而成，請同學們討論、思考將以上數列進行簡單的復合，并探究所得新數列的求和方法。

生一：若數列{an}的通項公式為an=2n-1，n為奇數2n-1，n為偶數，求前n項和。

析：奇數項依次成等差數列，公差為4，偶數項依次成等比數列，公比為4。應對n進行奇偶討論，進行分組求和。解（略）

生二：若將（1）和（2）的對應項相加，得新數列an=2n-1+2n-1， 求前n項和。

可將這類數列適當拆開，分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分組求和。解（略）

生三：若將（1）和（2）的對應項相乘，得新數列an=（2n-1）2n-1， 求前n項和。

Sn=1+3·2+5·22+…+（2n-1）·2n-1①

2Sn=1+3·22+5·23+…+（2n-1）·2n②

將①-②得：-Sn=1+2·2+2·22+2·23+…+2·2n-1-（2n-1）·2n

∴Sn=（2n-3）·2n+3

師：本題是錯位相減法求和，這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列。

生四：若數列{an}的通項是由（1）中2n-1與（2）中2n+1乘積的倒數組成，即：an=■，求前n項和：

Sn=■1-■+■-■+■-■+…+■-■=■1-■=■

師：本題是裂項相消法求和，實質是將數列中的每項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。如：若{an}是公差為d的等差數列，則■=■■-■。

二、概念辨析，舉一反三

數學概念教學是數學教學的基礎.在教學中往往遇見這樣的情況，若提問學生概念時，則能對答如流，但運用概念解決具體問題時，學生卻無從下手，我們稱這種現象為對數學概念的“假性理解”。這種“假性理解”介于正確理解和錯誤理解之間，即對概念只是簡單的記憶和表面的理解，雖能復述，但卻不能抓住概念的本質特征。

在“幾何概型”的概率教學中，事件A發生的概率為：P（A）=

■，此公式學生很容易記憶，但“測度”為何？很多學生極易混淆，沒有掌握其本質特征.我在教學中，沒有過多糾纏“測度”的概念解釋，而是通過對教材（蘇教版必修3第102頁）中“例3：在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率。”舉一反三，讓學生輕松掌握其本質。

變式一：在等腰直角三角形ABC中，在△ABC內任取一點N，連接CN并延長交AB于M點，求AM小于AC的概率。

變式二：在等腰直角三角形ABC中，在∠ABC內任取一點N，連接CN并延長交AB于點M，求AM小于AC的概率。

變式三：在等腰直角三角形ABC中，在直角邊BC上任取一點N，過N作NM∥AC交AB于點M，求AM小于AC的概率。

通過這樣舉一反三的教學，學生易知“測度”決定于點的選取來源，效果不言而喻。

又如在函數性質的概念教學中，對于如“函數y=f（x）滿足

f（x+2）=-f（2-x）”，學生易混淆這是反映函數的對稱軸、對稱中心還是周期性？這就要求教學中要舉一反三，理解本質：對稱軸來源于偶函數代表式f（-x）=f（x），對稱中心來源于奇函數代表式f（-x）=

-f（x），其他都是反映函數的周期性。

三、一題多解，舉一反三

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。對于同一道題，從不同的角度去分析研究，舉一反三，可能會得到多種不同的解法，當然，我們的目的不在于去顯擺幾種解法，而是通過不同的觀察視角，使我們的思維觸角伸向不同的方向，不同的層次，發展學生的發散思維能力、創新思維

能力。

題目：（2011重慶高考理第7題）已知a＞0，b＞0，a+b=2則y=■+■的最小值是__________。

解法1.（基本不等式法）∵a＞0，b＞0，a+b=2

∴y=■+■=■■+■（a+b）=■5+■+■≥■5+2■=■

當a+b=2■=■即a=■b=■時y取得最小值■。

解法2.（消元求導法）∵b=2-a＞0∴y=■+■=■+■（0＜a＜2）

∴y′=■+■=■（0＜a＜2）易知函數y在0，■上單調遞減，在■，2上單調遞增，∴ymin=■+■=■，

當a=■時y取得最小值■。

解法3.（判別式法）y=■+■=■+■，∴ya（2-a）=2-a+4a，

即ya2+（3-2y）a+2=0，∴Δ=（3-2y）2-8y=4y2-20y+9≥0∴y≥■或y≤■（舍去）。當y=■時，a=■。

解法4.（三角換元法）設a=2sin2α，b=2cos2α，則y=■+■=■+■=■csc2α+2sec2α=■（1+cot2α）+2（1+tan2α）=■+■cot2α+2tan2α≥■+2=■。當■cot2α=2tan2α即tan2α＝■時取等號，此時a=■，b=■。

解法5：（消元基本不等式法）∵b=2-a＞0∴0＜a＜2

∴y=■+■=■+■=■=■=■≥■=■。當3a+2=■即a=■時y取得最小值■。

《普通高中數學課程標準》指出：應重視對學生進行創造性思維能力的培養，運用歸納、類比、轉化、探索性的演繹，教會學生大膽地進行聯想。通過一題多解訓練這種形式，引導學生多側面、多角度、多渠道地思考問題，讓學生多探討、多爭論，拓寬學生的思維視角，使學生的思路開闊，引導學生不依靠常規尋求變異，進行創新性思維訓練，會給學生以新穎感，它對調動學生的學習積極性，激發學生的學習興趣，提高學生的數學素養都是大有裨益的。

四、一題多變，舉一反三

縱觀歷年高考題，許多題是由課本題變換而來。有的將條件和問題對換，有的將條件或問題換種說法，有的將題目換個載體，有的將特殊條件換成一般條件等。像這樣富有創造性的全方位思考，常常是學生發現新知識、認識新知識的突破口。

問題：點P在橢圓■+y2=1上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離|AP|的最大值。

這是一道簡單題，學生很容易得出結論，|AP|的最大值是■。解完這題后，我引導學生思考，能否把題目變一下，引起學生熱烈的議論和爭論，通過師生共同討論、總結，得出以下的幾種變題：

變題1：將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值。

變題2：將橢圓改為雙曲線■-y2=1，結論改為求|AP|的最

小值。

變題3：將橢圓改為拋物線y2=2x，結論改為求|AP|的最小值。

變題4：已知點P在橢圓■+y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值。

變題5：動點Q在圓x2+y2-4y+3=0上運動，動點P在橢圓■+y2=1上運動，求|PQ|的最大值。（將圓方程化為x2+（y-2）2=1，則圓心A（0，2），問題就轉化為原題了）

變題6：求三角式（cosα-2cosβ）2+（2+sinα-sinβ）2的最大值。

變題7：設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且離心率e=■，

點P在橢圓上運動，若定點A（0，2）到動點P距離的最大值是■，求橢圓方程。并求|AP|取最大值時，點P的坐標。

由一題多變，側重訓練了學生思維遞進性；由多題一解，側重訓練學生思維的深刻性；由條件和結論的換位，側重訓練學生思維的變通性；由多向探索，側重訓練學生思維的廣闊性，這樣讓學生掌握一類題型的解法，達到事半功倍的效果。

（作者單位 西安交通大學蘇州附屬中學）