高中數學探究教學的條件及認識論

一 高中數學探究

從教學認識論的角度，教學是人類認識的重要形式之一，也是一種特殊的認識。高中數學研究對象具有區別于自然科學研究對象的特殊性，這種特殊性很大程度上體現在數學對象的抽象性，對抽象性的分析是明確數學探究性質的前提。首先，數學抽象的特殊性體現在數學對象的量的屬性，即數學是從量的側面反映客觀實在的，在數學的抽象過程中我們完全舍棄了事物的質的內容而僅僅保留了它們的量的屬性。“首先注意到七條魚和七天的共同點的人必然使思想史前進了一大步。他是第一個具有純數學觀念的人。當時他一定還不可能看出有待發現的抽象數學觀念的復雜性與微妙性，也一定料想不到這些觀念會在往后的每一個世紀中發生廣泛的吸引力。”其次，數學抽象的特殊性還表現在抽象的深刻性、層次性。19世紀以后，新的數學對象不斷出現。

從認識主體看，每個學習者都以自己原有的知識和經驗為基礎對新的信息進行編碼、轉譯，建構自己的理解，通過同化或順應達到新的平衡，從而促進認知圖式的進化。由于學生的智力水平和年齡特征，學生對數學對象的心理表征往往帶有情境性、不確定性、不連續性，表現出明顯的建構性質。學生的主體活動是教學認識過程中最重要的活動，換句話說，教學認識的關鍵就在于建構學生的主體活動。“探究”這個概念不僅包括建構活動的結果，而且包括建構活動的過程。它是人們認識世界的一種方式，也是由感性認識向理性認識過渡的活動方式。個體的外顯行為和內隱思維統一于探究的活動過程中。

歷史與邏輯是統一的。教育心理學研究表明：學習不僅僅指簡單的信息積累和增長，同時也包含由于新舊經驗的沖突而引發的觀念轉變和結構重組。數學史的研究表明：數學觀念的轉變和結構的擴張往往是革命性的。如坐標系的引入，它為描述變動的量提供了數學表達，這樣數學就從研究常量擴大到研究變量，并發展了函數概念。“數學從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以后的200年里，這個概念在幾乎所有的工作中占有中心位置，這就是函數——或變量間的關系——概念。”辯證唯物主義認為“歷史與邏輯是統一的”，學生的認識邏輯與數學的發展歷程往往極為相似。對于學生的數學學習而言，科學的數學概念的形成絕不是輕而易舉的，往往也是“革命性的”。這是因為學生的前概念與科學的數學概念有很大差異，學生的前概念使得數學的觀念轉變和結構重組有時顯得步履艱難。盡管前概念有時很樸素，但是由于它來源于現實生活及學生的個人經驗，因此對數學學習的影響還是很顯著的。

因此，高中數學探究教學不應停留于表面的動手操作與合作活動，而應深入到學生的內部思維，創設必要的“觀念沖突”，整合形式化的數學對象與學生原先具有的直觀形象和經驗，讓學生明白原有觀念的不合理之處，通過觀念沖突以實現觀念更新，引導學生在探究中不斷進行自我建構、自我完善。

1．適度有效的教師引導，過多地啟發學生

探究教學雖然強調學生的自主性、創造性，但這并不意味著教師的作用削弱甚至不需要教師的引導。學生探究能力的形成與發展過程是漸進的而不是突發的，他們不可能一開始就能獨立從事探究學習，探究能力的培養離不開教師的悉心指導。在實際教學中，教師的指導往往走向兩個極端：要么牢牢掌握著教學的支配權，學生只是亦步亦趨地按照教師的步驟和方案，得出教師想要的結論；要么純粹“放羊式”地任由學生盲目發展，從表面看學生自主探索性增強，但學生可能卻是一無所獲。

在探究教學中，從情境的創設、探究問題的提出、探究方向的指引、探究過程的鼓勵、探究結論的反饋等，都需要教師及時地、適度地對學生進行指導。學生如果得不到教師及時適度的點撥將很難有理想的探究效果。

2．相應的知識能力準備

探究教學由于重視過程，一方面容易使人誤以為探究教學不需要知識或輕視知識的作用。根據加涅的“學習條件”理論，作為結果的知識是任何學習的必備條件之一，沒有知識作基礎或不獲得知識的學習是不成立的。探究學習同樣需要學生要有廣泛的、概括化的背景知識，因為學生對某個話題一無所知，也就不能作相應的思考。另一方面，主動參與探究過程也決定了學生需要具備一定的能力。例如，數學探究往往要求一定的“假設—演繹推理”活動，“假設—演繹推理”活動涉及做假設、預測、演算、把結果與預測相比較，它要求學生具有形式思維能力。顯然，缺乏這種能力的學生就不能在以“假設—演繹推理”為主要特征的環境中很好地學習。正是由于缺乏必要的知識準備和思維能力基礎，在實際的數學探究教學中，我們往往看到學生空有探究的積極性，但無法自主、深入地從事探究，也無法從操作活動中的數學上升到形式化的數學，也就談不上數學思想方法的領悟。

二 學習的監控能力

數學探究教學既是一個目標導向過程，又是一個自我調節和反思總結過程。探究學習過程中的每一個環節都離不開元認知的指引和發動。在數學探究教學中，要求學生具有較強的自我反思監控能力。理由在于：

第一，數學知識是相對的，本身具有不確定性因素，自我監控有利于對知識的反思理解，導向更深入的探究。首先，數學知識本身不具有永恒確定性，表現出明顯的建構性質。“三角形的內角和為180°”在歐氏幾何范疇內是成立的，但在非歐幾何范疇內則不成立，非歐幾何中三角形的內角和既可能大于180°，也可能小于180°。其次，即使某些知識是相對確定的，但在學生沒有理解它之前，都可以將它作為一個不確定性“問題”來處理。知識絕不是固定的、永恒不變的，它既作為這個探究過程的結果，又同時作為另一個探究過程的起點，它始終有待再考察、再檢驗、再證實。

第二，自我反思監控有助于概括原有的認識，形成有組織的、系統化的認知結構。學生對數學對象的表征往往是分散的甚至片面的，無法形成一個有機的整體。不僅如此，學生對自己的表征既缺乏清醒的自我認識，也不善于在心理表征的不同側面之間進行轉換，從而也無法去求解面臨的新問題，完成新的學習任務。

第三，數學概念本身具有“過程”和“對象”的二重性，自我反思監控的作用就在于促進由過程階段到對象階段的自覺轉變。許多數學概念既表現為一種過程操作，又表現為對象、結構，二者在認知結構中共存，并在適當的時機分別發揮作用。

〔責任編輯：王以富〕