論高中數學教學中如何激發學生的建模意識

摘 要：為了提高學生解決實際問題的能力，主要針對高中數學教學中如何激發學生的建模意識進行了簡單分析和探討。

關鍵詞：高中數學教學；激發；建模意識

數學建模，就是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，目前，已經成為高中數學教學研究的重點內容。為此，對高中數學教學中如何激發學生建模意識的探討有其必要性。

一、建模意識的培養

1.充分發揮學生的想象力，增強學生的建模意識

縱觀數學歷史，如，歐拉定理、哥德巴赫猜想、費爾馬大定理、笛卡爾坐標系等等，這些都源于數學家的想象力和直覺。因此，在培養數學建模意識的過程中，一定要利用一切可行、有效的辦法，激發學生的想象力，讓學生通過比較、觀察、對比，來領悟知識的內涵和真諦，一方面，培養了學生對數學的興趣，另一方面，培養了學生善于發現問題的習慣，從而促進學生更好地學習和研究數學。

例如，在學習高中函數知識時，教師就可以通過以下建模方法來完成教學任務：

某公司生產一種產品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外，每生產1百件這樣的產品，還需增加投入0.25萬元，經市場調查知這種產品年需求量為5百件，產品銷售數量為t（百件）時，銷售所得的收入為（5t-1/2t2）萬元。

（1）該公司這種產品的年生產量為x百件，生產并銷售這種產品所得到的利潤關于當年產量x的函數為f（x），求f（x）。

（2）當該公司的年產量為多少件時，當年所獲得的利潤最大。

分析：進行分類討論。（1）當0≤x≤5時，（2）當x>5時，分別寫出函數f（x）的表達式，最后利用分段函數的形式寫出所求函數解析式即可；分別求出當0≤x≤5時及當x>5時，f（x）的最大值，最后綜上所述，當x為多少時，f（x）有最大值，即當年產量為多少件時，公司可獲得最大年利潤。題中函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小值為整個函數的最小值。通過這樣的教學方式，一方面考查了分段函數以及函數與方程的思想，另一方面有效地培養了學生的建模意識。

2.激發學生轉換思維，培養學生的建模意識

從本質上講，數學建模就是一種數學轉換，簡單來講，就是將實際問題轉化為數學問題，然后利用一定的數學方法將問題解決。因此，在數學建模思維培養的過程中，必須重視思維轉化，充分認識到轉化的重要性，以此來培養學生的思維，激發學生的創造性、靈活性，開發學生智力，提升學生解決問題的能力，最終實現有效地培養學生的建模思維。

如，在學習高中立體幾何時，就可以引入建模思維，在這里進行具體的說明：某潛水員身背氧氣瓶潛入湖底進行考察，氧氣瓶形狀如圖，其結構為一個圓柱和一個圓臺的組合（設氧氣瓶中氧氣已充滿，所給尺寸是氧氣瓶的內徑尺寸），潛水員在潛入水下a米的過程中，速度為v米/分，每分鐘需氧量與速度平方成正比（當速度為1米/分時，每分鐘需氧量為0.2 L）；在湖底工作時，每分鐘需氧量為0.4 L；返回水面時，速度也為v米/分，每分鐘需氧量為0.2 L，若下潛與上浮時速度不能超過p米/分，試問潛水員在湖底最多能工作多長時間？（氧氣瓶體積計算精確到1L，a、p為常數，圓臺的體積V=1/3πh（r2+rR+R2），其中h為高，r、R分別為上、下底面半徑。）

在解決這個問題時，就要利用學生建模思維來解決問題，利用學生掌握的函數模型的選擇和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，恰當地建立方程，弄清數量間的相互關系，從而有效地將問題解決。

3.加強數學模型構造，發展學生的創新能力

曾經有人說過：“一個蹩腳的數學家，其只有一些抽象性的理論，而一個好的成功的數學家，不僅有理論，而且還有很多具體的例子，這也正是兩者之間最大的區別。”因此，在學生建模思維培養的過程中，要以“構造”為思維的載體，激起學生的創新意識，培養學生的創新能力。但是，建模并不是一件簡單的事情，一方面，要求學生具備構造模型的能力，另一方面，要求學生要有創新能力，能夠運用知識構建數學模型。

如，在學習有關數列知識的內容時，教師就可以將一些實際的問題引入到教學當中：

例1.某企業為了適應市場需求，計劃從2010年元月起，在每月固定投資5萬元的基礎上，元月份追加投資6萬元，以后每月的追加投資額均為之前幾個月投資額總和的20%，但每月追加部分最高限額為10萬元。設第n個月的投資額為an萬元，前n個月的投資總額為sn萬元。（Ⅰ）求出a1，a2，a3的值；（Ⅱ）寫出an關于n的表達式。（精確到0.01，參考數據：1.22=1.44，1.23=1.73，1.24=2.07，1.25=2.49，1.26=2.99）

例2.一列火車從重慶駛往北京，沿途有n個車站（包括起點站重慶和終點站北京）。車上有一郵政車廂，每停靠一站便要卸下火車已經過的各站發往該站的郵袋各1個，同時又要裝上該站發往以后各站的郵袋各1個，設從第k站出發時，郵政車廂內共有郵袋ak個（k=1，2，…，n）。（I）求數列{ak}的通項公式；（II）當k為何值時，ak的值最大，求出ak的最大值。

通過這樣的教學方法，不但可以考查學生對數列知識的掌握、二次函數的性質和應用，而且通過解題有效地培養學生的建模意識，進而幫助學生深入地了解知識。

二、注意問題

在培養學生建模意識和思維的過程中，必須加強對現行教材的研究，與教材的知識有效地結合起來，否則脫離教材，一切都是空談。為此，在高中數學教學中，學生建模意識的構建，一定要從課本出發，在適合的時間內，引入相關的問題，進而引入一些具體的模型。這樣，長此以往，在潛移默化中學生的建模意識就能夠培養起來。

在高中數學教學中，建模思維的培養，還要做到與其他學科的相互聯系。正如我們所知：數學與其他學科的聯系是極為密切的。因此，在教學中，一定要將數學與其他學科進行有效的融合，形成學科之間的相互滲透，一方面，為學生建模提供了一個重要方法，另一方面，有助于學生對知識的理解。

總而言之，數學建模意識的培養，不但可以增強學生的數學思維，而且可以提高學生解決實際問題的能力。因此，在高中數學教學中，要加強數學建模的方法和途徑的探討，激發學生興趣，增強學生的建模意識和能力，提升學生的解題能力和創新能力。

（作者單位 重慶市豐都縣職業教育中心）