高中數學中二次函數的應用

歷年高考試題中函數的知識點和函數思想都占有相當重要的地位，而其中的二次函數在高中數學中又有著非常重要的地位與作用，它猶如一根紅線貫穿其中，特別是在求函數的定義域、值域、函數的單調性、奇偶性及最值方面，二次函數問題往往是考查的一個重點。

初中學過的二次函數可以促使學生對高中教材中函數的概念有一個較明確的認識。在明確了二次函數解析式的形式之后，學生往往會遇到一些關于求二次函數解析式的問題。如類型（1）：設二次函數y=f（x）的最大值為13，且f（3）=f（-1）=5，求f（x）的解析式。這種類型主要是根據題設條件，恰當選擇二次函數的三種表達形式，用待定系數法來解決。類型（2）：已知二次函數f（x）滿足f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）的解析式。這是在復習函數的表示方法時，經常遇見的一種題型，且前提是已知了該函數的類型，然后用待定系數法結合題設已知條件，求出f（x）的解析式。需要注意的是，應把x+1看作一個整體去代x。類型（3）：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）。對于這類問題，一般有兩種方法：①把所給表達式表示成x+1的多項式，即湊配法；②變量代換（換元法）：它的適應性強，對一般函數都可適用。對于這類問題，往往學生不容易理解，因為比較抽象，在解題過程中很容易出錯，因此，在教學過程中，教師就應該把問題的本質講解清楚，使學生能更好地理解與應用，需要注意的是，在用這兩種方法解決此類問題時，要時刻注意自變量的范圍。

記得在介紹函數值域的求法這節內容時，有一種方法叫換元法求值域，換元的關鍵是要注意換元后新自變量的范圍，即換元后新函數的定義域問題，少數學生往往會忽視這一點，在教學過程中值得讓學生加以重視。類型（1）：例如求函數y=x+■的值域。類型（2）：已知函數f（x）=2x2-2ax+3在區間［-1，1］上有最小值，記作g（a），求g（a）的表達式。此題通過配方可知二次函數的對稱軸為x=■，是不固定的，但區間［-1，1］是固定的，屬于含參數的二次函數問題中動對稱軸定區間的問題，解決方法主要還是依據二次函數的本質，畫出草圖后考慮對稱軸與區間的位置關系，然后根據單調性求解即可。上課時也會提出，即若函數f（x）=2x2-2ax+3在區間［-1，1］上的最大值為h（a），求h（a）的表達式。則對二次函數圖象進行分析后可知，仍然是依據對稱軸與區間的關系，并且開口向上時，區間端點離對稱軸遠的可取最大值，同時可以發現區間［-1，1］的中點為x=0，因此只需分對稱軸■≥0和■＜0兩種情況去討論，從而h（a）的表達式就很容易得出了，若最大值為9，則參數a的值也可以求出。類型（3）：求f（x）=x2-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值。通過配方可知對稱軸為x=1，區間為［t，t+1］，且區間長度為1，屬于動區間定對稱軸問題，原則仍然是考慮區間與對稱軸的關系。相應地，上課時也會向學生提出求f（x）=x2-2x-1在區間［t，t+1］上的最大值，讓學生去思考。

對于以上求二次函數的最值的三種題型的例題可知，做題時首先要使學生弄清楚題意。一般的，一個二次函數在實數集R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，經常會遇到含參數的二次函數動對稱軸定區間與動區間定對稱軸這兩類求最值問題，要求學生要理解二次函數求最值的本質，抓住對稱軸與區間的關系去討論，謹記二次函數的最值始終在三個地方取得，區間兩端點與對稱軸處。當然，二次函數的值域問題不僅僅局限于形式上的二次函數求值域問題，它和我們所學的指數函數、對數函數、三角函數等某些類型的值域問題也有著密切的關聯，在此就不一一舉例了，因為思想方法與此類似。

作為基本初等函數的重要函數之一的二次函數，有著豐富的內涵和外延，它可以作為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以編出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

（作者單位 江蘇省金壇市第一中學）