加強(qiáng)函數(shù)模型教學(xué)提高解應(yīng)用題的能力

摘 要：本文通過舉例中職學(xué)校教材里常見的四種函數(shù)應(yīng)用題的教學(xué)，讓學(xué)生熟悉并掌握建立函數(shù)模型，從而提高解應(yīng)用題的能力。

關(guān)鍵詞： 函數(shù)模型；應(yīng)用題；能力

眾所周知，應(yīng)用題問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個薄弱環(huán)節(jié)，學(xué)生在解數(shù)學(xué)應(yīng)用題時常感到束手無策，很難順利求解，究其原因：一是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的情景往往采用描述性語言，文字?jǐn)⑹鲚^長，背景陌生，學(xué)生難以理解題意，無法抓住關(guān)鍵詞句全面理解題目的已知和未知；二是數(shù)學(xué)模型較生疏。數(shù)學(xué)應(yīng)用題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個層面上非數(shù)學(xué)問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)問題，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，其中重要的一種類型就是建立函數(shù)模型。建立函數(shù)模型，首先要設(shè)出變量，尋找函數(shù)關(guān)系，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，然后運(yùn)用函數(shù)的知識和方法去解決。因此，熟悉函數(shù)模型，恰當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解好應(yīng)用題的關(guān)鍵。中職學(xué)校教材里的函數(shù)應(yīng)用題，常見的有以下幾種：

一、一次函數(shù)模型

關(guān)鍵詞句是成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系、銷售收入與產(chǎn)量之間的關(guān)系等。常見的是價格對銷量的影響，即價格提高，銷量減少，反之，價格降低，銷量就會增加。

例1 某商品的最低價格為60元時，月銷售量為1800件，價格每提高3元，月銷售量就會減少600件，在不考慮其他因素時，試求這種商品的月銷售量與價格的關(guān)系式，當(dāng)價格提高到多少元時，這種商品就會賣不出去？

解析：設(shè)商品價格提高n個3元時，則商品價格為x=60+3n（元），即n=，銷售量y=1800-600n（件）。

∴y=1800-600×

=1800-200x+12000

=13800-200x

商品賣不出去時，銷售量y=0

∴13800-200x=0 即x=69（元） ∴x∈［60，69］

所以這種商品的月銷售量與價格的函數(shù)關(guān)系式為y=13800-200x，x∈［60，69］。

當(dāng)價格提高到69元時，這種商品就會賣不出去。

二、二次函數(shù)模型

在實(shí)際生活中，普遍存在最優(yōu)化問題，如有關(guān)造價用料最少、利潤最高、幾何面積最大等問題都可以轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)最值問題。2004年至2011年福建省“高職單招”統(tǒng)一考試應(yīng)用題均考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。主要是：一種產(chǎn)品要取得最佳的利潤，就要考慮成本、銷售量與定價等問題，或是如何設(shè)計幾何圖形的邊長，才能使其面積最大。

例2 （2010年高職單招高考題）某超市銷售一種成本為60元/件的商品，當(dāng)商品的銷售價為80元/件時，銷售量為2000件，而銷售價每提高2元/件，銷售量就減少40件，問：當(dāng)銷售價多少時，超市銷售該商品所獲利潤最大？并求最大利潤。（注：利潤 = 銷售收入—成本）

解析 設(shè)商品價格提高n個2元時，則商品價格為x=80+2n（元/件），銷售量Q=2000-40n（件）。利潤為y元

因此利潤為

y=x?Q-60?Q

= (80+2n)? (2000-40n)-60? (2000-40n)

=-80n2+3200n+4000

這是一個二次函數(shù)，且a=-80＜0，因此上述函數(shù)在（-∞，+∞）上有最大值，

配方得y=-80（n-20）2+72000

所以當(dāng)n=20，即x=120時，y取得最大值，且最大值為72000。

答：當(dāng)銷售價為120元/件時，超市銷售該商品所獲利潤最大，且最大利潤為72000元。

例3 （2011年高職單招高考題）如圖1面舊墻，另三邊用長度等于20（單位：米）籬笆圍一個矩形區(qū)域EFGH，設(shè)FG=x （單位：米）.

(1) 寫出矩形EFGH的面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；

（2）當(dāng)x取何值時，S最大？并求出S的最大值。

解析 因?yàn)镕G=x，且FG+2HG=20

所以 HG==10-， 0

所以 S=x?10-

= -x2+10x。定義域?yàn)椋?， 20）

因?yàn)镾=-x2+10x =-（x-10）2+50，x∈（0， 20）

所以當(dāng)x=10時，S取最大值，且最大值為50。

三、分段函數(shù)型

函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)，需要用不同的解析式來表示，把這種函數(shù)叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，只不過該函數(shù)需要分段表示。

現(xiàn)實(shí)生活中分段函數(shù)在出租車計費(fèi)、稅收、日常生活（水費(fèi)、電費(fèi)等）等方面有極其廣泛的應(yīng)用。

例4 某地出租車按如下方法收費(fèi)：當(dāng)行程不超過3 km時，收費(fèi)10元；行程超過3km但不超過7km時，超過3km部分按1.6元/km計價；行程超過7km，超過7km部分按2.4元/m計價。

(1) 試寫出以車費(fèi)y（元）與行車?yán)锍蘹（km）之間的函數(shù)解析式。

(2) 若某人要坐出租車到6.5 km遠(yuǎn)的商場去，問他要付多少車費(fèi)？

解析 根據(jù)題意，列出表1：

表1

即y與x之間的函數(shù)解析式為y=10；0＜x≤31.6x+5.2；3＜x≤72.4x-11.6；x＞7x

（2）因?yàn)?.5∈(3，7］，

所以y=1.6×6.5+5.2=15.6。

即某人要坐出租車到6.5 km遠(yuǎn)的商場去，需要付費(fèi)15.6元。

四、指數(shù)函數(shù)模型

在應(yīng)用題中常遇到的按復(fù)利計算利息的一種儲蓄、平均增長率等關(guān)鍵詞句。

例5 某市2004年有常住人口54萬，如果人口按每年1.2%的增長率增長，那么2010年該市常住人口約為多少萬人（精確到1萬）？

解 經(jīng)過1年即05年常住人口為：

y=54+54×1.2%=54×1.012

經(jīng)過2年即06年常住人口為：

y=54×1.012+54×1.012×1.2%

=54×1.012×(1+1.2%)=54×1.0122

經(jīng)過3年即07年常住人口為：

y=54×1.0122+54×1.0122×1.2%=54×1.0123

……

由此得出，經(jīng)過x年該市常住人口為y=54×1.012x

當(dāng)x=6，即2010年該市常住人口為y=54×1.0126≈58。

答：2010年該市常住人口約為58萬人。

在實(shí)際問題中，常遇到有關(guān)平均增長（遞減）率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N， 平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y，可以用下面的公式：y=N（1±p）x表示。

理解題意是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生逐字逐句去理解題意，特別是抓住關(guān)鍵詞句全面理解題目的已知和未知，只有讀懂了題目，正確理解題意，明確題目的實(shí)際背景，才有可能正確地進(jìn)行抽象，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。中職學(xué)校教材中所列應(yīng)用題，對于學(xué)生來說雖有一定困難，教師在教學(xué)中不要輕易刪減，教學(xué)中要多想辦法，多下功夫幫助學(xué)生克服困難?？傊?，幫助學(xué)生縝密地審題是解應(yīng)用題的首要任務(wù)。