對三角尺的思考

一直伴隨數學教學的三角尺，不知教師們是否認真思考過。它內涵豐富，能生成許許多多數學問題，不但是當前的中考熱點，也是促進學生主動探索，積極思考的載體.課上可作為學生合作學習的素材，課后又是學生獨立思考，深入研究的課題.

三角尺相關問題能使學生順其自然地投入到研究性學習中，讓他們感知艱辛的經歷后獲得成功的體驗.既能培養動手操作能力，又能提升抽象思維和邏輯思維能力，滲透數形結合思想以及綜合運用知識解決問題的能力，還能潛移默化地激發學生用數學觀點來觀察、探索、實驗、推理、歸納生活中的事物，養成學數學、用數學、愛數學的良好學習品質.

一、利用三角尺畫特殊角（0°~180°）

除了直接用三角尺畫出0°、30°、60°、90°、45°、180°的特殊角外，還可以用兩三角尺各個內角的和或差畫出120°、75°、150°、105°、135°、15°等特殊角.

二、利用三角尺作垂線和平行線

三、利用三角尺作特殊幾何圖形

等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形.

四、三角尺的拼圖功能

1.同尺拼接，考查特殊多邊形的概念、判定和性質.

2.異尺拼接，生成動點問題.

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一個動點．

（1）當點P運動到∠ABC的平分線上時，連接DP，求DP的長；

（2）當點P在運動過程中出現PD＝BC時，求此時∠PDA的度數；

（3）當點P運動到什么位置時，以D、P、B、Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時 DPBQ的面積．

2. 你發現∠BCD與∠ACE的大小關系了嗎？證明你的發現.

3. 三角尺ABC不動，將三角尺DEC的CE邊與CB邊重合，然后繞點C按順時針或逆時針方向任意轉動一個角度（使0°＜∠BCE＜90°），當∠BCE等于多少度時，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠BCE角度所有可能的值，不用說明理由．（答案提示：順時針，30°、45°、75°；逆時針，45°、60°.）

六、三角尺旋轉成體

將短直角邊長度為a，一個銳角是30°的三角尺，分別以其三條邊所在直線為軸，順時針（或逆時針）旋轉360°后，形成了下圖對應的幾何體.試比較它們的表面積和體積的大小變化.

將銳角為30°的三角尺ABC如上圖放置，先以點C為中心，沿直線l按順時針方向做第1次轉動，再以轉動后點A的對應點A1為中心，按相同方向做第2次轉動，再以相同的方式做第3次轉動，實現第3步三角尺的位置.

（1）請在方框內畫出三角尺做第2次轉動后的位置圖形；

（2）若三角尺的短直角邊BC長為6cm，請計算出三角尺做3次轉動過程中，點B的行程.

八、三角尺的平移

1. 兩三角尺的直角邊在同一直線上的平移.

三角尺ABC（一銳角是30°）和三角尺DEF（銳角是45°）的起始位置如圖1所示，令三角尺DEF固定不動，三角尺ABC以每秒鐘1個單位的速度向右平移，AC（或DE）的長度為n，請求出平移過程中兩三角尺重疊面積S與平移時間t之間的函數關系式，并標明自變量取值范圍.

（5）當t≥■n時，S=0.

2.兩三角尺斜邊在同一直線上的平移.

三角尺ABC（一銳角是30°）和三角尺DEF（銳角是45°）的起始位置如圖6所示，令三角尺ABC固定不動，三角尺DEF以每秒鐘1個單位的速度向右平移，AC（或DE）的長度為n，請計算平移過程中兩三角尺重疊面積S與平移時間t之間的函數關系式，并標明自變量取值范圍.