“函數圖像”教學設計

（本課選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級第十四章.）

教學目標：

一、 知識與技能

1.學會觀察、分析函數圖像信息．

2.體會數形結合思想，并利用它解決問題，提高解決問題的能力．

二、過程與方法

１.提高識圖能力、分析函數圖像信息的能力．

２.體會數形結合思想，并利用它解決問題，提高解決問題的能力．

三、情感態度與價值觀

１.體會數學方法的多樣性，提高學習興趣．

２.認識數學在解決問題中的重要作用，從而加深對數學的認識．

教學重點：

觀察分析圖像信息．

教學難點：

分析概括圖像中的信息．

教學方法：

整節課應以“開放、合作、探究”為基本特征，給學生思考的空間和表現的機會，讓學生在一個較為輕松的環境中去體驗數學學習帶來的樂趣，構建充滿活力的課堂氛圍.

教具準備：

多媒體演示．

教學過程：

1. 提出問題，創設情境

我們在前面學習了函數意義，并掌握了函數關系式的確立．但有些函數問題很難用函數關系式表達出來，然而可以通過圖來直觀反映.例如用心電圖表示心臟生物電流與時間的關系．

即使對于能列式表示的函數關系，如果也能畫圖表示則會使函數關系更清晰．

我們這節課就來解決如何畫函數圖像的問題及如何解讀函數圖像信息．

2. 導入新課

我們先來看這樣一個問題：

正方形的邊長x與面積s的函數關系是什么？其中自變量x的取值范圍是什么？計算并填寫下表：

生：函數關系式為s=x2，因為x代表正方形的邊長，所以自變量x＞0，將每個x的值代入函數式即可求出對應的s值．

師:好！如果我們在直角坐標系中，將你所填表格中的自變量x及對應的函數值s當作一個點的橫坐標與縱坐標，即可在坐標系中得到一些點．

大家思考一下，表示s與x的對應關系的點有多少個？如果全在坐標中指出的話是什么樣子？可以討論一下，然后發表你們的看法，建議大家不妨動手畫畫看．

生：這樣的點有無數多個，如果全描出來太麻煩，也不可能．我們只能描出其中一部分，然后想象出其他點的位置，用光滑曲線連接起來．

師:很好！這樣我們就得到了一幅表示s與x關系的圖.圖中每個點都代表s的值與x的值的一種對應關系.如點（1，1）表示x=1時，s=1.

一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖像.上圖中的曲線即為函數s=x2（x＞0）的圖像．

函數圖像可以數形結合地研究函數，給我們帶來便利．

[活動一]

活動內容設計：

下圖是自動測溫儀記錄的圖像，它反映阿城的春季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化.你從圖像中得到了哪些信息？

活動設計意圖：

１. 通過圖像進一步認識函數意義．

２. 體會圖像的直觀性、優越性．

３. 提高對圖像的分析能力、認識水平．

４. 掌握函數變化規律．

教師活動：

引導學生從兩個變量的對應關系上認識函數，體會函數意義；可以指導學生找出一天內最高、最低氣溫及對應時間，在某些時間段的變化趨勢，認識圖像的直觀性及優缺點，總結變化規律……

學生活動：

在教師引導下，合作探究，歸納總結．

活動結論：

１.一天中每時刻t都有唯一的氣溫Ｔ與之對應．可以認為，氣溫Ｔ是時間t的函數．

２.這天中凌晨4時氣溫最低為-3℃，14時氣溫最高為8℃．

３.從0時至4時氣溫呈下降狀態，即溫度隨時間的增加而下降.從4時至14時氣溫呈上升狀態，從14時至24時氣溫又呈下降狀態．

4. 這天最高氣溫與最低氣溫之差為11℃.

5.我們可以從圖像中很直觀地看出一天中氣溫變化情況及任一時刻的氣溫大約是多少．

[活動二]

活動內容設計：

下圖反映的過程是小明從家去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家. 其中x表示時間，y表示小明離他家的距離，小明家、菜地、玉米地在同一條直線上.

觀察下面的圖像，你能發現哪些結論？

活動設計意圖：

書中例題是以5個問題的形式給出的，這里以開放式出現，這樣的設計可以充分調動學生的熱情和興趣，鞏固知識的同時彰顯了學生的個性，并給學生設置了充分發揮的空間，在兼顧全體學生的同時，分散了難點.

教師活動：

引導學生分析圖像、尋找圖像信息，特別是圖像中兩段平行于x軸的線段的意義．

學生活動：

在教師引導下，積極思考、大膽參與、歸納總結．

活動結論：

１. 菜地離小明家1.1千米A，小明走到菜地用了15分鐘．

２. 小明給菜地澆水用了10分鐘．

３. 菜地離玉米地0.9千米. 小明從菜地到玉米地用了12分鐘．

４. 小明給玉米地鋤草用了18分鐘．

５. 玉米地離小明家2千米. 小明從玉米地走回家用了25分鐘. 所以平均速度為2÷25=0.08（千米／分鐘）．

師：我們通過兩個活動已學會了如何觀察和分析圖像信息，那么在觀察圖像時應該注意什么問題呢？

生：弄清橫、縱坐標表示的意義，自變量的取值范圍，圖像中函數隨著自變量變化的規律，抓住一些特殊點.

[活動三]

活動內容設計：

出示相關的各類函數圖像問題.

活動設計意圖：

通過各類圖像習題的訓練，讓學生進一步體會圖像的直觀性，并熟練地找到圖像中重要的信息.

例1：小明今天到學校參加運動會，從家里出發走10分鐘到離家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分鐘；再用10分鐘趕到離家1 000米的學校．下列圖像中，能反映這一過程的是（ ） ．

例2：李林和弟弟進行百米賽跑，李林比弟弟跑得快，如果兩人同時起跑，李林肯定贏．現在李林讓弟弟先跑若干米，圖中分別表示兩人的路程與李林追趕弟弟的時間的關系，由圖中信息可知，下列結論中正確的是（ ） ．

Ａ.李林先到達終點

Ｂ.弟弟的速度是8米／秒

Ｃ.弟弟先跑了10米

Ｄ.弟弟的速度是10米／秒

例3：下圖表示一輛汽車的速度隨時間變化的情況：

①汽車行駛了多長時間？它的最高時速是多少？

②汽車在哪些時間段保持勻速行駛？時速分別是多少？

③出發后8分鐘到10分鐘之間可能發生了什么情況？

④用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況。

例4：小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，途中自行車出了故障，他只好停下來修車．車修好后，因怕耽誤上課，故加快速度繼續勻速行駛趕往學校．下列行駛路程（米）與時間（分）的函數圖像中，符合小明騎車行駛情況的圖像大致是（ ）.

例5：龜兔賽跑的故事，領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但已經來不及了，烏龜先到達了終點……現在用直線和折線分別表示二者所走的路程，t為時間，則下列圖像中：

① 哪個表示兔子，哪個表示烏龜？

② 兔子休息了多長時間？

③ 從中你能悟出什么人生道理？

④將龜兔賽跑的故事改編并畫出相應的圖像.

3. 課時小結

本節通過兩個活動，學會了分析圖像信息，解答有關問題．這樣我們又一次利用了數形結合的思想．

4. 課后作業

P104 練習2、3.