平面法向量的魅力

平面法向量是垂直于平面的一個非零向量，作為一種輔助工具，它常常被應用在立體幾何問題的求解過程中，并充分體現了向量的“數”“形”功能.那么如何用平面法向量求解立體幾何問題呢？首先我們要解決一個問題：怎樣才能得到一個平面的法向量？

在空間直角坐標系中，根據平面中的兩個不共線向量a=（x1，y1，z1）與b=（x2，y2，z2），通過四個步驟即可確定該平面的法向量.

（1） 設. 設所求的法向量為n=（x，y，z）.

（2） 列. 由a·n=0，b·n=0列出方程組x1x+y1y+z1z=0，x2x+y2y+z2z=0.

（3） 解. 用z分別表示x，y，寫成如x=2z，y=9z+1這樣的形式.

（4） 取. 為z取一個值，并由z的取值確定法向量n的一組坐標.為了方便運算，在取值時應盡量使x，y，z為整數.

確定了平面法向量之后，我們將探討第二個問題：如何用平面法向量解決立體幾何問題？一般來說，使用平面法向量可以解決以下三類問題.

一、求直線與平面所成的角

設a=（x1，y1，z1）為直線l的方向向量，n=（x，y，z）為平面α的法向量，只要求出a與n所成角的大小，就能確定直線l與平面α所成角的大小.

例1 已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點，且AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點，求直線NS與平面CMN所成角的大小.

解： 設PA=1，以A為原點，以射線AB，AC，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖1所示.

因為P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M1，0，，N，0，0，S1，，0，所以=-，1，0，=，0，，=，，0.

設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則由·n=0，·n=0可得-+y=0，+=0；解得x=-z，y=- （z∈R且z≠0）.取z=-2，得n=（2，1，-2）.由圖2可知，所求角為與n所成角的余角.由cos==可得=45°. 所以直線NS與平面CMN所成角的大小為90°-45°=45°.

點評： （1） 在圖1中難以作出直線NS在平面CMN上的射影，但由題設可以方便地確定空間直角坐標系，求出直線NS的方向向量與平面CMN中的兩個不共線向量，，故可考慮用向量法求……