離心率問題解法攻略

圓錐曲線離心率問題在高考中常以客觀題的形式出現，常見題型可分為兩類，一是求圓錐曲線的離心率，二是求圓錐曲線離心率的取值范圍.下面我們就來談談圓錐曲線離心率問題的解法.

一、利用定義法求解

例1 點P（-3，1）在橢圓+=1（a>b>0）的左準線上，過點P且方向為a=（2，-5）的光線，經直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點F，則這個橢圓的離心率為

（A） （B） （C） （D）

解析： 如圖1所示，設Q為入射點.因為P（-3，1）在橢圓的左準線上，所以-=-3.由a=（2，-5）可知入射光線PQ的斜率k=-，所以直線PQ的方程為y-1=-（x+3）.當y=-2時，x=-，即Q-，-2.因為y=-2平行于x軸，所以入射光線PQ與反射光線QF的對稱軸垂直于x軸，由對稱關系可知反射光線QF的斜率k′=-k=，所以直線QF的方程為5x-2y+5=0.因為QF過焦點F（-c，0），所以-5c+5=0，解得c=1.又-=-3，所以a=. 所以e==，選A.

點評：用定義法求解即根據條件直接求出a，c，再由離心率公式e=解得答案.這種方法適用于能直接求出a，b，c中任意兩個量的問題，難度不高.

二、利用方程思想求解

例2 [2012年高考數學湖北卷（理科）第14題第（1）問] 雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F2. 若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D，則雙曲線的離心率e= .

解析：如圖2所示，因為點D為圓O與菱形F1B1F2B2的切點，所以OD⊥F2 B2. 設圓的半徑為r，則OD=r=OA2=a.因為B2為雙曲線虛軸的端點，所以OB2=b.又OF2=c，所以S△F2OB2=OB2·OF2=bc=OD·B2F2=a，即bc=a，兩邊平方得b2c2=a2（b2+c2）.將b2=c2-a2代入可得（c2-a2）c2=a2（2c2-a2），整理得c4-3a2c2+a4=0.等式兩邊同除以a4可得4-3·2+1=0，即（e2）2-3e2+1=0.整理得（e2-1）2=e2，即（e2-1+e）·（e2-1-e）=0.解得e=或e=.因為雙曲線的離心率e>1，所以e=.

點評： 例2沒有涉及具體的a，b，c的值. 對于這類不能直接求出a，c的值，或者求a，c的值計算量過大的問題，我們可以根據條件，用幾何形式或代數形式表示出a，b，c之間的……