謹慎對待數列問題

例 若數列x，a1，a2，y成等差數列，x，b1，b2，b3，y成等比數列，則的取值范圍是 .

錯解： 由題意得a1+a2=x+y，b1b3=xy，所以==2++.因為x，b1，b2，b3，y成等比數列，所以x，y≠0.當x，y同號時，+≥2；當x，y異號時，+≤

-2.所以≥4或≤0，即的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）.

錯因分析：已知x，b1，b2，b3，y成等比數列，設公比為q（q≠0），則b1=xq，b2=xq2，b3=xq3，y=xq4.由于q可為正也可為負，所以該等比數列相鄰兩項的正負可能相反也可能相同，而間隔兩項的正負卻總是保持一致.也就是說，若等比數例{an}的公比為q，則=q2，=q2，即“在等比數列中，奇數項同號，偶數項同號”.所以由x，b1，b2，b3，y成等比數列可判斷x，y同號.

正解： 由題意得a1+a2=x+y，b1b3=xy，所以==2++.由x，b1，b2，b3，y成等比數列可知x，y同號，所以+≥2，故的取值范圍是[4，+∞）.

在以上例題中，由于錯解忽視了“在等比數列中，奇數項同號，偶數項同號”的性質，導致了解題范圍的擴大.那么，數列問題中還會有哪些常見的隱含條件呢？

1. 關于數列項數的隱含條件

解決數列問題應關注項數n的取值范圍.在數列單調性問題、錯位相減求數列前n項和問題、累加或累乘求數列通項公式等問題中，常有多個關系式涉及項數n的取值范圍，我們應在n原有取值范圍的基礎上，綜合各式中項數n的取值范圍進行考慮.一般來說，n的取值范圍應為各式中項數n的取值范圍的交集.比如，已知數列{an}的前n項和Sn=-an-n-1+2 （n≥1，n∈N*）（①），用錯位相減法求{an}的通項公式：當n=1時，由S1=-a1-1+2=a1得出a1=；當n≥2時，Sn-1=-an-1-n-2+2 （②），由①-②可得Sn-Sn-1=an=-an+an-1+n-1 （③）. 這里應注意③式中n的取值范圍是①②兩式中n的取值范圍的交集n≥2，n∈N*.

2. 數列的概念、公式和性質中包含的隱含條件

（1） 用an=Sn-Sn-1求數列的通項公式時，要注意該式成立的條件是n≥2，切記討論當n=1時a1=S1的情況.

（2） 用等比數列求和公式時，若公比q不為定值，則需判斷q是否為1；……