物極必反，數(shù)學亦如是

哥德爾定理讓我們看到數(shù)學演繹推理的局限性，但是，數(shù)學本身又能通過推理論證自己的局限，這就顯示了數(shù)學的力量。

存在著在形式推理范圍內(nèi)不可證明的真命題，其實也沒有什么不得了的，人類對事物規(guī)律的認識是不斷深入、逐步推進的，在形式系統(tǒng)內(nèi)不可證的命題，也許可以在系統(tǒng)之外——在更大的系統(tǒng)之內(nèi)求證。

比方說，如果我們知道哥德巴赫猜想在現(xiàn)在的算術(shù)系統(tǒng)里是不能被證明也不能被反證的話，就可以斷定它一定成立，因為如果它不成立，必然可以被反證，這種推理方式已超出了形式系統(tǒng)的規(guī)則，事實上現(xiàn)在我們并不知道它能不能被反證。

或許我們還可以不斷擴大算術(shù)形式的系統(tǒng)，使系統(tǒng)能一次又一次地、更加全面地反映自然數(shù)的性質(zhì)，盡管形式系統(tǒng)永遠也不可能給自然數(shù)系以完全的描述，但人類的認識是在不斷的辯證關(guān)系中逐步解決的。

哥德爾定理表明，即使在數(shù)學這樣最精確、最嚴密的科學之中，也存在人們對某事物的認識永遠也不可能達到絕對真理的地步，絕對真理是無數(shù)相對真理的總和，人們只能在認識相對真理的過程中逐步逼近絕對真理。

另一方面，哥德爾定理告訴我們，數(shù)學的協(xié)調(diào)性不能在算術(shù)的形式系統(tǒng)之內(nèi)得到證明，但并沒有否定它在形式系統(tǒng)之外證明算術(shù)協(xié)調(diào)性的可能。

另外一些數(shù)學家，包括哥德爾本人在內(nèi)，他們都進行過算術(shù)協(xié)調(diào)性的證明，這些證明不可避免地要用到形式算術(shù)系統(tǒng)之外的一些假定，也就是說，在比算術(shù)系統(tǒng)更大的系統(tǒng)中證明算術(shù)的協(xié)調(diào)性，首先要考慮這個更大的系統(tǒng)是否協(xié)調(diào)，總之我們不能在系統(tǒng)內(nèi)部進行求證。

我們看到一個有趣的現(xiàn)象，包括微積分、幾何在內(nèi)的整個數(shù)學的協(xié)調(diào)性，是逐步劃歸到越來越小的系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性中的，到了算術(shù)系統(tǒng)小得不能再小的時候，再想證明協(xié)調(diào)性，就反而是把系統(tǒng)擴大了，這就是“物極必反”的表現(xiàn)！

對數(shù)學基礎(chǔ)的研究正是這樣，當人們覺得已把問題弄得越來越簡單，越來越明白的時候，忽然發(fā)現(xiàn)一切變得復雜起來了，也就是說當人們以為自己真正掌握了“終極真理”時。其實在數(shù)學推理的范疇里它已像泥鰍一樣從你的指縫中溜走。

事實上，數(shù)學的力量已發(fā)展到空前成熟的階段，就像一個成熟的能對自己作出恰如其分評價的成年人——他已經(jīng)不再是不知天高地厚的毛頭小伙子了。

我們得知數(shù)學的力量本身也存在局限。可數(shù)學依然信心十足，雖然它不能證明自己的協(xié)調(diào)性，但依舊被其他多門科學所信任。