平面圖形周長和面積計算須分清線與面

“一塊長方形菜地，長是12.8米，寬是4.5米。這塊菜地的面積是多少平方米？”此為浙江教育出版社配套新課標(biāo)人教版出版的小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的作業(yè)本中的一道練習(xí)，筆者所教班級此題的錯誤率達36%。分析學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因，其中33.3%是計算錯誤，66.7%是套用了長方形周長公式。詢問平行班其他任教老師，也出現(xiàn)了同樣的情況：學(xué)生對長方形周長、面積的計算公式易混淆。在百度中搜索“周長面積混淆”的有關(guān)信息，收搜結(jié)果達76頁之多。可見，在教學(xué)平面圖形面積公式之后，學(xué)生易將其與周長公式相混淆。

一、分析原因

1.教材中材料呈現(xiàn)具有共存性

右圖為義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《小學(xué)數(shù)學(xué)》三年級下冊第41頁周長起始課用圖，學(xué)生在材料中看到的邊（周長）和面（面積）是同時的。其中國旗和數(shù)學(xué)課本更吸引學(xué)生關(guān)注的是面，很難抽象出周長，與本課教學(xué)目的相違。在面積教學(xué)中也是類似情況。

《腦與學(xué)習(xí)》一書中闡述：人們對學(xué)習(xí)情境的“感覺”會決定其投入注意力的程度。學(xué)生根據(jù)材料的視覺所獲，在大腦中登記的是線與面共存的影像，在接下來的學(xué)習(xí)中是線面兩種注意力共存的學(xué)習(xí)，且材料對視覺的沖擊力度影響著學(xué)生對兩種注意力的側(cè)重。就算在課堂上，老師有意地強調(diào)一個物體的“邊”和“面”，學(xué)生也很難將它們真正區(qū)分開。正是平面圖形教學(xué)材料在呈現(xiàn)上有共存性，給學(xué)生的混淆埋下了伏筆。

2.教材中概念表述具有沖突性

小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的基本平面圖形中，教材都是從線的角度來定義的。例如：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形；圓是一條封閉的曲線。但在教學(xué)立體圖形的時候，卻與之不一。例如：圓柱的底面是圓。此句首先肯定了圓柱的底面是一個面，言下之意，圓是一個面。那圓究竟是線還是面呢？

筆者曾對13名六年級一線教師就“圓究竟是線還是面呢？”這個問題進行了調(diào)查與訪談。

問題1：圓是什么？

調(diào)查結(jié)果：回答“圓是一條封閉的曲線”占84.62%。回答“圓是在同一平面內(nèi)，與固定一點距離相等的點的集合”占15.38%。

問題2：圓柱的底面是什么？

調(diào)查結(jié)果：回答“圓”占61.54%。回答“圓形”占30.77%。回答“圓面”占7.69%。

問題3：圓是一條線，為什么還說圓柱底面是一個圓？

調(diào)查結(jié)果：回答“不知道”的占76.92%。回答“小學(xué)階段不要求區(qū)分”的占15.38%。回答“學(xué)生長大后自然能夠區(qū)分”的占7.69%。

從調(diào)查與訪談結(jié)果中不難看出，這13位教師對這個問題一樣存在疑惑。教師都存在不解，更何況學(xué)生呢？

3.教學(xué)中教師過分強調(diào)周長面積的計算公式具有過分性

在課堂中，教師往往會通過一定的推理得出平面圖形的周長、面積計算公式，會理想地認為學(xué)生都已經(jīng)理解并掌握公式。在練習(xí)中，學(xué)生自動套用公式，很少去關(guān)注之前的推理過程及其針對性。

若學(xué)生用錯公式，教師問的是應(yīng)該用面積公式還是周長公式，而非題目所求的本質(zhì)。

于是，學(xué)生對此就產(chǎn)生了理解上的模糊、識記上的混淆，導(dǎo)致應(yīng)用上的錯誤。

從以上三個原因看出，造成混淆的關(guān)鍵在于學(xué)生對線、面的概念不清。

二、提出解決方案

為解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，由于線、面的概念不清而造成的平面圖形周長、面積計算混淆問題，筆者對平面圖形區(qū)分“線”“面”教學(xué)進行研究與探索，意圖在教學(xué)中處理學(xué)習(xí)材料所呈現(xiàn)的周邊信息，幫助學(xué)生建立周長與面積兩個不同維度的概念；強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與材料的有效性學(xué)習(xí)；給學(xué)生以足夠的空間經(jīng)歷操作活動、多次解釋活動、思維內(nèi)化過程，從而使學(xué)生理解平面圖形周長、面積公式。以下是筆者結(jié)合長方形的周長、面積計算，談?wù)劷鉀Q方案。

1.結(jié)構(gòu)圖示：如圖1所示。

2.具體應(yīng)用

（1）強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與材料呈現(xiàn)的有效性。

就有效性學(xué)習(xí)的本身來說，新知識與原有知識系統(tǒng)的可辨析度，是影響學(xué)習(xí)的重要變量之一。這就需要我們教師幫助學(xué)生建立周長與面積兩個不同維度的概念，關(guān)鍵在于學(xué)習(xí)材料所呈現(xiàn)的四邊信息的處理。

周長屬于一維空間（只有“長度”）。在處理學(xué)習(xí)材料時，就要突出長方形四邊的長度信息，給學(xué)生以視覺沖擊，在大腦中形成長方形周長就是四邊的長度之和的印象。

而面積屬于二維空間(由長度、寬度構(gòu)成的空間)。面積是“面”的大小，是由它的長度與寬度兩個因素決定。教師需讓學(xué)生建立二維印象，弱化四邊的長度信息，把其轉(zhuǎn)化為二維信息。如圖例中：長為3厘米轉(zhuǎn)化為3個1平方厘米的正方形，寬2厘米轉(zhuǎn)化為有2排；或者寬2厘米轉(zhuǎn)化為2個1平方厘米的正方形，長為3厘米轉(zhuǎn)化為有3排。以此建立面積公式符號與意義的聯(lián)結(jié)。

（2）給予學(xué)生經(jīng)歷過程的空間

現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)認為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者原有認知結(jié)構(gòu)的組織與重新組織，而不是“復(fù)制知識”的活動；兒童不只是模仿和接受成人的策略和思維模式，他們要用自己原有的知識去過濾和解釋新信息，以至理解它、同化它。這里所講的理解，是指符號所代表的新知識與學(xué)生腦中已有的適當(dāng)知識（概念、原理、公式、定理等）建立了非人為的（非任意的）和實質(zhì)性的（非字面的）聯(lián)系。

學(xué)生通過操作活動，親身體驗、感受長方形直觀背景和周長、面積概念之間的關(guān)系，并初步得出周長與面積的解求方法，再內(nèi)化為學(xué)生的一種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。此時學(xué)生需要有足夠的空間來對活動進行思考，即長期同類型的解題練習(xí)和意義解釋。通過多次的數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷思維內(nèi)化、概括過程，學(xué)生在頭腦中對活動進行多次描述和反思，“熟能生巧”的與相關(guān)的周長公式、面積公式建立聯(lián)系，并抽象出周長公式、面積公式。

數(shù)學(xué)中的公式是撇開具體事物的質(zhì)的方面，抽出其量的方面進行研究得出的關(guān)系式。它應(yīng)用廣泛，推導(dǎo)方法具有代表性，所以人們把它比喻為“數(shù)量關(guān)系的精髓”。在教學(xué)中，學(xué)生不能只記住公式和套用公式，我們要讓學(xué)生利用它的特殊性來解決問題及解釋問題。

（責(zé)編 羅 艷）