數學學習因滲透數學思想而厚重

日本數學教育家米山國藏深刻指出：“縱然是把數學知識忘記了，但數學的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里，長久的活躍于日常業務中。”可見，數學思想和方法之重要。然而，在我們的教學中，那種只重視講授表層知識，而不注重滲透基本數學思想、方法的教學，是不完備的教學。它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調基本數學思想和方法的滲透，而忽略表層知識的教學，會使教學流于形式，學生也難以領略到深層知識的真諦。筆者這幾年來特別重視對教材的研讀和挖掘，致力于探求在數學教學中有效滲透數學思想的措施與方法。

一、在合作交流過程中體驗數形結合思想的神奇

案例：二年級上冊第九單元“整理與復習”中的第7題

師（出示圖1）：你能算出大正方形里一共有多少個小正方形嗎？

生1：1+3=4。

師：根據顏色用加法算，不錯！還有不同的算法嗎？

生2：2×2=4。

師：你是怎樣想的？

生2：每排有2個，有兩排。

師：看來，同一個問題思考的角度不同，就能得到不同的解決方法。

師（出示圖2）：這個大正方形里有幾個小正方形？你能用不同的方法解答嗎？

生3：1+3+5=9。

生4：3×3=9。

師：誰能分別解釋加法算式和乘法算式的意思？

生5：加法就是1個黑色的小正方形加3個淺黑色的小正方形，再加5個白色的小正方形，一共有9個小正方形；乘法就是每排3個，有3排。

師：解釋很清楚，我聽明白了，你們呢？（眾生點頭）

師（出示圖3）：和你的同桌說說怎樣用不同的方法計算小正方形的個數。

生6：1+3+5+7=16，4×4=16。

1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16

2×2=4 3×3=9 4×4=16

師：觀察這三組算式，你有什么發現？

生7：我發現上下兩道題的得數一樣。

生8：我發現上面一道全是加法算式，下面一道全是乘法算式。

生9：我還發現上面加法的加數都是單數。

師：厲害！而且這些單數還是——

生10：有順序的。

生11：從小到大排列的。

師：那加數分別有——

生：2個、3個、4個！

師（手指乘數）：這還有什么秘密？

生12：我發現加數有幾個，下面的乘數就是幾！

師：你像火眼金睛的孫悟空！你們能根據規律接著再寫一組這樣的算式嗎？（出示圖4）如果有困難可以和同桌商量商量，也可以畫畫圖。

（學生獨立在練習紙上嘗試，教師巡視，發現絕大部分學生都能正確寫出：1+3+5+7+9=25，5×5=25）

師：你是怎么想到1+3+5+7+9=25，5×5=25的？

生13：我是畫圖得到的。

生14：我在腦子里把剛才的正方形的外面又加了一層，外面一層的小正方形有9個，所以加起來是1+3+5+7+9=25；這樣的大正方形里有5排小正方形，每排5個，所以也可以用5×5=25計算。

師：腦中畫圖，多好的方法，真是個會學習的好孩子！

師：的確，結合圖能更好地幫助我們理解這兩道算式的含義和聯系！

生15：前面是1+3+5+7=16，后面就要再加9這個單數，就變成1+3+5+7+9=25；現在是5個單數，所以是5×5=25。

師：你已經不需要畫圖，完全根據規律就能寫出了，說明你已經真正地把規律記在了心里。

生16：我還知道1+3+5+7+9+11=6×6。

生17：我還知道1+3+5+7+9+11+13=7×7。

生18：我知道有幾個連續的單數相加得數就是幾×幾。

……

反思：有了圖形的感官刺激，學生顯得尤為興奮，自覺根據顏色從里向外逐層相加，又根據乘法的意義，列出乘法算式。有了方塊圖的輔助，給枯燥的算式穿上感性的外衣，使學生理解起來十分順暢。在提供給學生三組圖形后，教師巧妙地設計了讓學生自主選擇方法寫出下一組有關聯的加法和乘法算式的環節，由于學生的知識和經驗是有差異的，思維發展更是有快慢和層次之分，所以有的學生需要借助動手畫圖，有的學生只需要在腦中構圖，更有的學生則已經不需要圖形的支撐直接能根據算式的規律正確列式。需要解釋的是，這里的“規律”是學生在積累了大量豐富表象和感性經驗的基礎上總結出的，是真正理解并內化了的規律，是加法算式和乘法算式之間的規律，所以學生才能類比聯想出“幾個連續的單數相加得數就是幾×幾”。這是多么了不起的發現，這個要到高年級才能總結出的規律在圖形的幫助下，卻被我們二年級的學生用最樸素和淺顯的話語表達了出來，數形結合可真是神奇！

二、在動手操作中領略轉化思想的美妙

案例：第十冊第十單元“圓”中的例8

（學生用數格子的方法得出圓的面積在3r2和4r2之間）

師：那圓的面積到底是它半徑平方的多少倍呢？用數格子的方法能求出精確值嗎？

生：不能！

師：為什么？

生：數格子有誤差。

師：看來，我們得另辟蹊徑。想想除了數格子外，我們還用過什么方法推導平面圖形的面積公式？

生：轉化！

師：比如——

生1：平行四邊形轉化成長方形，三角形轉化成平行四邊形，梯形轉化成平行四邊形。

師：轉化的確是個好策略。看看圓，你有什么想說的？

生2：圓是否也可以把它剪拼轉化成為熟悉的平面圖形，推導出面積公式呢？

師：嗯，多好的問題啊，提出一個有價值的問題往往比解決一個問題更重要！那圓該怎樣轉化呢？我看到有的同學把兩個圓放在了一起，能直接拼嗎？

生：不能！

師：為什么？

生3：因為圓的邊是曲線，不能拼合。

師：那得先（剪）再（拼）。沿什么剪呢？大膽地和你的同桌說出你的設想。

生4：把圓先對折，然后沿直徑剪開。

師：哦，對折后沿直徑剪開，你建議對折幾次？（兩次）這是個不錯的主意，那就趕快同桌合作像這樣折折、剪剪、拼拼，把圓轉化成我們學過的平面圖形并貼在白紙上吧！

（學生分小組動手操作，然后分類展示學生拼好的作品，如三角形、梯形、平行四邊形等）

師：同學們開動腦筋用圓拼出了這么多我們學過的圖形，你認為計算什么圖形的面積比較簡單？

生：平行四邊形！

師：好！我們就一起研究平行四邊形。

師：瞧，這組同學的作品，說說你們把圓怎樣了？

生5：我們把圓平均分成了4份，拼出一個平行四邊形。

師：是真正的平行四邊形嗎？

生：不是！

師：為什么？

生6：因為它的邊是彎的。

師：那只能說是近似的平行四邊形。

師：下面的圓呢？上下對比，你有什么想說的？

生7：下面的圓平均分成了8份，拼出的圖形更像平行四邊形了。

師：能不能把拼出的圖形的邊變得更直些？（再平均分）平均分成16份，這么復雜的任務咱們就交給電腦吧。瞧，怎么樣了？如果要更直，更像呢？（電腦演示，平均分成32份）閉著眼睛想象一下，平均分成64份、128份、256份……會——

生8：平均分的份數越多，拼成的圖形越接近于長方形。

師：由4份到8份，再到16份、32份……我們使拼的圖形的上下兩條邊越來越直，也就經歷了一個由曲到直的轉化過程，最終把圓轉化成了近似的長方形。

……

反思：本課在學生用數格子的方法得不到精確值時，調動學生已有的認知經驗——把平行四邊形轉化成長方形、把三角形轉化成平行四邊形、把梯形轉化成平行四邊形去求面積，從而想到把圓轉化成學過的圖形。但是圓是曲線圍成的圖形，這和前面學過的線段圍成的圖形有著本質的區別，如何轉化是個難點，所以這里學生的交流與教師的引導是必要的。通過教師的引導與同伴思維的碰撞，學生想到了把圓對折后沿折痕剪開，然后再拼，于是問題迎刃而解。接下來教師給予學生小組合作的時空，讓學生在剪剪、拼拼、貼貼中把圓轉化成學過的平行四邊形、三角形、梯形。由于課堂時間有限，并且平行四邊形的計算最簡單，推導過程也相對容易些，所以教師引導學生選擇平行四邊形進行圓面積公式的推導。在以上環節中，學生通過剪拼、觀察、電腦演示、閉起眼睛想象等活動，不僅經歷了由新到舊、由難到易、由曲到直的轉化過程，還體會到圓被分的分數越多，拼成的圖形越接近長方形的極限思想。

三、在自主探究中感受歸納、演繹思想的魅力

案例：蘇教版“公倍數和公因數”練習五第2題

師：能用畫√的方式找出這些數的因數和公因數嗎？

生：能！

（學生獨立解決，教師巡視）

師：我發現這位同學找得又對又快，能介紹你的好方法嗎？

生1：我是一對一對找的，比如說找到1就想到30……

師：你們覺得這個方法怎么樣？

（學生們贊同地點點頭，并自覺運用這種方法）

師：誰愿意把你的思考和大家分享？

生2：8的因數有1、8，2、4；10的因數有1、10，2、5；20的因數有1、20，2、10，4、5。

生3：8和10的公因數有1、2，最大公因數是2。

生4：8和20的公因數有1、2、4，最大公因數是4。

生5：10和20的公因數有1、2、5、10，最大公因數是10。

（電腦同步演示，并閃爍相應的公因數）

師（電腦閃爍“1”“2”）：你們還能發現什么？

生6：我發現1和2既是8的因數，又是10的因數，還是20的因數。

生7：1和2是8、10、20的公因數。

師：厲害，還知道1和2是這三個數的公因數呢！

生8：1是所有非0自然數的公因數。

師：你們認為呢？

生：同意。

師：比如說——

生9：1是1的因數。

生10：1是2的因數。

生11：所有的奇數都有因數1，所有的偶數也都有因數1，所以1是非0自然數的公因數！

師（走到生11旁邊握著他的手）：謝謝你的發現，使我們的思考更加深刻。

師：觀察10和20，你發現它們有怎樣的關系？

生12：倍數關系。

師：再仔細看它們的因數，你還能發現什么？

生13：10的因數全是20的因數。

生14：找10和20的公因數只要找10的因數。

生15：10和20的最大公因數就是10。

師：我們班的同學就是愛動腦子，這么偉大的規律都被你們發現了。你還能找到像這樣有倍數關系的一對數嗎？

生16：3和6。

師：找它們的公因數只要看誰？

生：3。

師：為什么？

生17：因為3的所有因數都是6的因數。

師：3和6的公因數有——

生：1、3。

師：最大公因數是——

生：3。

師：誰還能舉例？

生18：8和40。

師：它們的公因數有——

生：1、8，2、4。

師：最大公因數是——

生：8。

（學生情緒高漲，躍躍欲試）

師：還想說，那就和你同桌說一說，讓他找找公因數和最大公因數吧。

師：這樣倍數關系的數說得完嗎？你有什么好辦法，只說一句話？

生19：找有倍數關系的兩個數的公因數只要找小數的因數，它們的最大公因數就是小數！

……

反思：學生在找出8、10、20 的因數后，通過觀察發現1和2既是8的因數，又是10的因數，還是20的因數，所以歸納得出1和2是8、10、20的公因數。教師的激勵性評價和開放的課堂教學給了學生思維的翅膀，使學生歸納得出1是所有非0自然數的公因數。這里的歸納思想盡顯無疑，且教師的“比如說”又把學生的思維引向了歸納的反面——演繹，讓學生舉出一些例子來驗證此結論。更妙的是，有學生從奇數和偶數的角度去全面歸納，再次驗證了1是所有非0自然數的公因數的結論。下面的環節可謂更加精彩，學生在發現了有倍數關系的10和20及10的所有因數都是20的因數后，推想出找10和20的公因數只要找10的因數，而且它們的最大公因數就是10。“我們班的同學就是愛動腦子，這么偉大的規律都被你們發現了。你還能找到像這樣有倍數關系的一對數嗎？”教師的提問再次把學生引向了歸納的方向。學生在舉出大量的例子并對倍數關系的兩個數的公因數和最大公因數有了更為深刻的理解后，教師的提問“這樣倍數關系的數說得完嗎？你有什么好辦法，只說一句話”，便使學生水到渠成地歸納出“找有倍數關系的兩個數的公因數只要找小數的因數，它們的最大公因數就是小數”的結論。以上環節，在學生的自主探索過程中，歸納和演繹這兩種對立又統一的數學思想互相交織，完美地融合在一起，使學生經歷了觀察——猜想——驗證——歸納的全過程。

我們知道數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地編寫在教材中，是有“形”的；而基本的數學思想和方法卻隱含在數學知識體系里，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。但學生只有領會了基本的數學思想和方法，才能有效地應用知識解決問題，形成能力。所以，教師在教學中要認真研讀教材，根據學生的年齡特點和認知規律，有效開發教學資源，把教學資源變靜態為動態、變枯燥為鮮活、變封閉為開放，讓學生充滿靈性、富有智慧，使數學學習因承載數學思想而變得厚重而豐潤。

（責編 杜 華）