函數(shù)概念教學談

[摘要]函數(shù)是中學數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容，它與生活和學習聯(lián)系緊密。教師在組織高中學生學習函數(shù)內(nèi)容時，一要幫助學生梳理函數(shù)概念，二要進行目標解析，三要幫學生診斷學習中遇到的問題。

[關(guān)鍵詞]

初中階段，學生已經(jīng)學習過函數(shù)概念，但到了高中，函數(shù)概念發(fā)生了變化。此時，數(shù)學教師要幫學生理清概念，解析問題。

一、對“函數(shù)”概念的理解

在初中，學生已經(jīng)學習過函數(shù)概念，建立的函數(shù)概念是：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么，我們就說y是x的函數(shù)。其中x稱為自變量。這個定義從運動變化的觀點出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式。進入高中，學生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f（x）|x∈A叫做函數(shù)的值域。這個概念與初中概念相比更具有一般性。其實，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的。不同點是表述方式不同──高中明確了集合、對應(yīng)的方法；初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對應(yīng)的觀點。且高中引入了抽象的符號f（x），f（x）指集合B中與x對應(yīng)的那個數(shù)，當x確定時，f（x）也唯一確定。另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個概念。

函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：1.兩個數(shù)集間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，即對于數(shù)集A中每一個x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)。2.涉及兩個數(shù)集A、B，而且這兩個數(shù)集都非空；這里的關(guān)鍵詞是“每一個”“唯一確定”。也就是，對于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對應(yīng)，有的沒有。而且，在集合B中只能有一個與之對應(yīng)，不存在兩個或者兩個。3.函數(shù)概念中涉及的集合A、B，對應(yīng)關(guān)系f是一個整體，是集合A與集合B之間的一種對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度來認識函數(shù)。

二、目標解析

1.通過豐富實例，建立函數(shù)概念的背景，使學生體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型。能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個要素。2.會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域。3.通過從實例中抽象概括函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學生的抽象概括能力。

教學的重點是，在研究已有函數(shù)實例（學生舉出的例子）的過程中，感受在兩個數(shù)集A、B之間所存在的對應(yīng)關(guān)系f，進而用集合、對應(yīng)的語言刻畫這一關(guān)系，獲得函數(shù)概念。然后再進一步理解它。

三、教學問題診斷分析

1.學生對函數(shù)概念中的“每一個”“唯一確定”等關(guān)鍵詞關(guān)注不夠，領(lǐng)會不深。教學中，可以通過反例讓學生加以認識。如有學生的考試情況是這樣的：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考試成績。這里就不能表示一個函數(shù)。因為對于集合A中的元素“4”，在集合B中就沒有元素與它對應(yīng)。

2.忽視“數(shù)集”二字，把一般的映射關(guān)系理解為函數(shù)。如：高一（2）班的同學組成集合A，教室里的座椅組成集合B，每個學生都有唯一的一個座椅，班上還有空椅子。這能否算作一個函數(shù)的例子，為什么？

3.對為什么集合B不是函數(shù)的值域不理解．讓學生感受到，有時，為了研究方便或者確定一個函數(shù)的值域暫時有困難，使得B＝{f（x）|x∈A} 更加合理。

4.當函數(shù)關(guān)系具有解析式表示時，f（x）當然可以用x的解析式表示出來。學生會因此而誤以為對應(yīng)關(guān)系f都可以用解析式表示。可以通過所舉實例的類型，引導學生，明確表示對應(yīng)關(guān)系f并非解析表達式不可。但這不是本節(jié)課的重點，應(yīng)該放在下一節(jié)課“函數(shù)的表示”中解決。只要注意所列舉的例子不光是有解析式的即可。

5.本課的難點是：對抽象符號y＝ f（x）的理解。可以通過具體函數(shù)讓學生理解抽象的f（x）。比如函數(shù)f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2 ．f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，

f（2）無定義。f（x）＝x2，x∈A。

最終，讓學生明白，f（x）是集合B中的一個數(shù)，是與集合A中的x對應(yīng)的那個數(shù)．當x取具體數(shù)字時，f（x）也是一個具體的數(shù)。

責任編輯：一覺