指數與對數函數的突破要點

指數函數與對數函數是重要的基本初等函數，也是高考數學的熱點內容之一. 近年來，高考主要考查的是指數函數和對數函數的圖象及性質，以及運用它們的性質來解決具體問題的能力． 試題常以含有指數函數、對數函數的復合函數形式呈現，以及與方程、不等式、數列等知識的交匯綜合．

學習基本初等函數時，要對如何運用所學的函數知識來研究一個具體函數的方法有較完整的認識.指數函數和對數函數的性質與底數a的取值有關，應注意分類討論；在求解含有參數的指數函數、對數函數問題時，常運用化歸思想，將復雜問題簡單化，應注意數形結合、類比、換元等數學思想與方法的靈活應用.

重點：指數與對數的運算性質；指數函數與對數函數的概念、圖象和性質．

難點：底數a對指數函數、對數函數的單調性的影響；指數函數、對數函數的性質的綜合應用．

1. 比較大小

涉及指數值或對數值比較大小的問題，通常要借助指數函數或對數函數的單調性進行解決. 解決這個問題的前提是能化同底，或者考慮使用中間量，即讓一個值大于中間量，一個值小于中間量，問題便能解決． 特別地，熟練掌握中間量“1”與“0”的應用，如1=a0=logaa，0=loga1等.

2. 函數圖象

函數圖象是函數的一種直觀形象的表示，在同一坐標系可用直線x=1（y=1）區分不同底的指數函數（對數函數）． 函數圖象是函數部分運用數形結合思想方法的基礎，要掌握好畫圖、識圖、用圖三個基本問題．

3. 底數范圍

指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a的影響，特別是解決與指數函數、對數函數的單調性有關的問題時，首先要看底數a的取值范圍，情形不明時，需分類討論．

4.復合函數

指數函數與對數函數中的絕大部分問題是指數函數、對數函數的復合問題，一般采用換元處理，如：y=a2x+2ax－3，通常令t=ax（特別地，要注意新變量的取值范圍）． 另外，復合函數的單調性是解決這類問題的重要途徑，對其單調性的判斷常借助于“同增異減”這個性質．

思索 題目條件中給出的是兩個超越方程，直接求出x1，x2的值不切實際． 如果從函數與方程思想切入，立足于指數函數與對數函數，將條件中的方程形式進行變形，分解出指數型或對數型函數，再利用數形結合的方法即可求解．

點評 在對簡單復合函數的性質進行研究時，應該將其拆分成內函數與外函數，并分別研究內函數和外函數的性質，然后再根據復合規律加以判斷． 對形如y=logaf（x）的復合函數的性質的研究，必須注意定義域對整個問題的影響，若字母a未定，還要對a的值分類討論．

1. 夯實基礎知識

對于指數函數與對數函數，要立足基礎，從概念、圖象和性質這三個方面理解它們之間的聯系與區別，從函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點、特殊區間理解它們的有關性質．

2. 突出思想方法

數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想是解決指數函數與對數函數的常用思想方法． 通過數形結合的方法研究函數的圖象可以探索其性質，同樣，利用函數的性質又可作出其圖象. 如果指數函數的底數及對數函數的真數和底數含有參數，一般需要分類討論． 函數與方程的關系密切，它們之間常?？梢韵嗷マD化，特別是函數的零點與方程的根．

3. 重視交匯綜合

重視知識與能力的交匯綜合，一是各知識板塊之間的交匯與融合，比如函數、數列、不等式，它們各自既具有獨立意義，相互之間又存在著天然的、密切的聯系，復習時要把它們看成一個整體來研究；二是按主題的整合，比如圖象變換，涉及的知識包括二次函數的平移、函數的奇偶性、三角中的伸縮變換等，通過研究其主通性，再拓展到各類函數與圖象、方程與曲線中去．

4. 研究真題考綱

函數知識是高中數學的主線，指數函數與對數函數是兩種重要的基本初等函數，只有認真研究高考對函數內容的命題趨勢，重視《考試說明》和歷年高考試題對命題的導向作用，方能有的放矢，事半功倍．