例析與分式結合的含參二次方程綜合題

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出，“學生能體會數學知識之間的聯系，運用數學知識與方法分析問題與解決問題”．可見，加強數學不同板塊知識的綜合運用，是課程標準的一個重要內容．本文以兩道立意精巧，背景為分式與一元二次方程結合的綜合題的解析，揭示同類問題的求解策略，發展學生的代數推理能力，以及在具體題目中分析問題、解決問題的能力．

【關鍵詞】初中數學；一元二次方程；解題技巧

一元二次方程是初中階段重要的數學模型，往往與代數的基礎知識、公式及性質相結合，考查學生的運算能力與代數推理能力．尤其有一類含參的一元二次方程問題，與分式或分式方程結合，綜合性強，難度大．它結合了一元二次方程根的判別式、韋達定理、因式分解、整式方程（組）與分式方程解法，整數解等代數的核心知識，需解題者靈活運用方程思想、轉化思想、分類思想進行具體分析與理性思考．下面以兩道試題為例，管窺此類問題的解題策略．

類型1 遞進式綜合題

例1 已知在關于x的分式方程k－1x－1=2①和一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0②中，k，m，n均為實數，方程①的根為非負數．

（1）求k的取值范圍；

（2）當方程②有兩個整數根x1，x2，k為整數，且k=m+2，n=1時，求方程②的整數根；

（3）當方程②有兩個實數根x1，x2，滿足x1x1－k+x2x2－k=x1－kx2－k，且k為負整數時，試判斷m≤2是否成立？并說明理由．

解析 （1）解分式方程①k－1x－1=2，

得x=k+12.

因為關于x的分式方程①的根為非負數，

所以x≥0且x≠1，

所以x=k+12≥0，且k+12≠1，

解得k≥-1且k≠1．

又因為在一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0中，2－k≠0，所以k≠2．

綜上可得：k≥-1且k≠1，k≠2．

（2）因為一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0有兩個整數根x1，x2，

把k=m+2，n=1代入原方程②中，

得－mx2+3mx+1－m=0，

即mx2－3mx+m－1=0，

所以Δ=9m2-4mm-1=m5m+4≥0，且m≠0，

則m>0，或m≤-45.

因為x1，x2是整數，k，m都是整數，

x1+x2=3，x1·x2=m－1m=1－1m，

所以1－1m為整數，m=1或－1，

由（1）知k≠1，則m+2≠1，即m≠－1，

所以把m=1代入方程mx2－3mx+m－1=0，

得x2－3x+1－1=0，

即x2－3x=0，所以x1=0，x2=3．

（3）由（1）知：k≥-1且k≠1，k≠2，

因為k是負整數，所以k＝－1，

因為一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0有兩個實數根x1，x2，

由韋達定理得

x1+x2=－3m2－k=3mk－2=－m，

x1x2=3－kn2－k=43n，

化簡已知等式x1x1－k+x2x2－k=（x1－k）（x2－k），

得x21－x1k+x22－x2k=x1x2－x1k－x2k+k2，

所以x21+x22=x1x2+k2，

所以x1+x22－2x1x2－x1x2=x1+x22－3x1x2=k2，

將x1+x2=－m，x1x2=43n代入，

得－m2－3×43n=－12，

即m2－4n=1，

即n=m2－14③，又k=－1，

所以方程②的Δ=3m2-4n2-k3-k=9m2-48n≥0④，

把③代入④得：9m2-48×m2-14≥0，

所以m2≤4，則m≤2，

所以m≤2成立．

點評 本題的已知給出的分式方程與一元二次方程，是題目的總條件，對于分式方程①的參數k始終滿足k≥－1且k≠1，k≠2，適合后面的每一小問．方程②在（2）（3）小問的條件下，利用方程①的k的范圍條件，相互制約，再結合整數根、一元二次方程根的判別式、韋達定理等進行具體分析，直至得出問題的結果．

類型2 并列式綜合題

例2 （1）若關于x的二次三項式x2+ax+3（a為常數）的最小值為－6，則a= ；

（2）求出代數式3x2+6x－21－3x的取值范圍；

（3）若關于x的代數式5mx－nx2－x+2（其中m，n為常數且m≠0）的最小值為-4，最大值為7，請求出滿足條件的m，n的值．

解析 （1）設y=x2+ax+3，

變形為x2+ax+3－y=0，

因為Δ≥0，

所以a2-43-y≥0，

所以y≥3-14a2，

而由已知y≥-6，

故3－14a2=－6，

所以a=6或a=－6．

（2）設y=3x2+6x－21－3x，

變形為3x2+6+3yx－2－y=0，

因為Δ≥0，

所以6+3y2-4×3×-2-y≥0，

化簡得3y2+16y+20≥0，

求出3y2+16y+20=0的兩根，

y1=－2，y2=－103，

根據二次函數與方程的關系得

y≤-103或y≥-2．

所以代數式3x2+6x-21-3x≤-103，

或3x2+6x-21-3x≥-2．

（3）設y=5mx－nx2－x+2，

變形得yx2－y+5mx+2y+n=0，

因為Δ≥0，

所以y+5m2-4y2y+n≥0，

整理得7y2-10m-4ny-25m2≤0，

由已知可得-4≤y≤7，

根據二次函數與方程的關系，得7y2－（10m－4n）y－25m2=0⑤的兩根是y1=－4，y2=7，代入⑤，

整理得25m2－40m+16n－112=025m2+70m－28n－343=0，

解方程組得m=145n=74或m=－145n=－494.

點評 本題的三個問題的方程或代數式中的參數互不牽連，沒有制約關系，只要運用各自小題的知識點進行分析、推算、解答即可．但將其組裝在一起的內核是設元法．我們通過設元將代數式轉化為一元二次方程，再運用一元二次方程根的判別式得出所設參數的范圍，并結合二次函數、一元二次方程的根、一元二次不等式的關系，得出題目所求參數范圍或參數的值．

【本文為張店區教育科學規劃課題《基于Nvivo操作下的初中課堂教學切片分析研究》（立項編號：ZD2024194）階段性研究成果】