發揮習題功效, 培養學生的數學思維能力

孫桂華

摘要： 高中數學課程教學應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一，也是《普通高中數學課程標準》的要求。在高中的數學教學中，應通過課后習題探究，啟發學生思維，培養學生的數學思維能力。

關鍵詞： 高中數學教學習題數學思維能力

新教材的高中數學課后習題是經過專家學者潛心研究，精心設計的，具有典型的范例作用，滲透了新課標的思想，起著培養學生的數學思維能力的作用，極具探究價值。我通過人教必修五第二章數列課后習題的教學談談認識。

一、培養學生的歸納猜想能力

偉大的物理學家、數學家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”猜想是一種創造性的思維活動，它可“導出”新穎獨特的思維成果。在已知領域中有所創新，在未知的領域中有所發現或突破。在必修五第二章數列的課后習題教學中，應把“歸納”與“猜想”兩種思想方法相結合，從而提高學生“歸納猜想”的能力。

例1（必修五31頁習題）根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式。

例2（必修五教材第33頁習題A組5題）根據下面的圖形及相應的點數，在空格和括號中分別填上適當的圖形和點數，并寫出點數構成的數列的一個通項公式。

例3（必修五34頁B 組）下圖中的三個正方形塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前3項，請寫出這個數列的前5項和數列的一個通項公式。（圖形略）

后兩道題不僅培養了學生的歸納猜想能力，還通過圖形與數列的結合探究，實現了數學的美育功能。

二、培養學生的類比推理能力

波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數學還是在高等數學，甚至在其他任何領域中，本來可以發現的東西，也可能無從發現。”因此，作為基礎教育之一的中學數學，在教學中必須重視培養學生的類比推理的能力。人教版必修五第二章，在等差數列、等比數列的教學設計上，明顯體現出類比的思想，課后的習題設計也體現出這一思想。所以在習題課中，教師要領會新課程思想，培養學生的類比推理能力。

例如必修五第39頁練習第4題，第5題。學生探究，老師引導得出相應的結論。所以在人教A必修五第53頁等比數列習題中就可以讓學生進行類比推理方法學習。等差數列與等比數列的類比學習，不僅可以促進學生對知識的掌握，還可以培養學生的類比推理能力。

三、培養學生應用數學解決實際問題的能力

《數學課程標準》明確指出：“使學生感受數學與現實生活的密切聯系，使學生初步學會運用所學的數學知識和方法解決一些簡單的實際問題。”這一要求揭示了數學與實際生活之間的關系，即數學源于生活、寓于生活、用于生活。因此，在人教版A必修五數列的課后習題中，有大量的實際應用問題，如：購房問題等，使學生通過了解數學知識在實際中的廣泛運用，培養學生用數學眼光看問題，用數學頭腦想問題，增強學生用數學知識解決實際問題的意識。在教學中我嘗試將數學和生活進行有效融合和連接，將抽象的數學本質生活化，從而大大激發了學生的學習興趣，培養了學生將純數學問題轉化成解決具體實際問題的能力。

例如（人教必修五62頁）

購房問題 ：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購房專用款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元，如果每年的存款數額相同，依年利息2%并按復利計算，問每年應該存入多少錢？

引導學生思考如何把實際問題化為數學模型，從而培養學生應用數學解決實際問題的能力。

四、培養學生探究總結的能力

高中數學遞推數列通項公式的求解是高考的熱點之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進行嚴格的邏輯推理。找到數列的通項公式，重點是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉換思想，通過適當變形，轉化成等差數列或等比數列，達到化陌生為熟悉的目的。通過人教A必修五第二章習題的教學，培養學生探究總結的能力。

例如：必修五（人教版）第69頁5題

引申：形如a=pa+q（p、q為常數，而且p≠0，p≠1），求通項a。

思路1：可用不完全歸納法猜想

思路2：迭代法（過程略）

思路3：構造法 （過程略）

歸納總結：若數列{a}滿足a=pa+q（p≠1，q為常數），則令a+λ=p（a+λ）來構造等比數列，并利用對應項相等求λ的值，求通項公式。

例如：必修5教材69頁。本題是兩次構造等比數列，最終用加減消元的方法確定數列的通項公式。又如：必修五45頁練習2，引申：已知數列{a}的前項和為S，求這個數列的通項公式a，這些習題的引申拓展，能培養學生的探究總結能力。

五、培養學生的社會實踐能力

荷蘭著名數學家弗萊登塔爾認為：數學教育是一個活動過程，在整個活動過程中，學生應該處于一個積極、創造的狀態 。學生首先要參與這個活動，感覺到創造的需要，他才有可能進行再創造。而教師的任務就是為學生的發展、創造提供自由廣闊的天地，引導學生探索獲得知識、技能的能力。

例如：人教A必修五62頁第4題：收集本地區有關教育儲蓄的信息問題，設計本題的目的是培養學生的社會實踐能力，處理此題的時候，我提前布置課外作業，使學生有充足的時間進行社會調查，等下一周數學課的時候，采用合作交流的形式完成此題。此課結束后，學生異常興奮，在實踐中體驗了學習數學的興趣。不僅培養了學生的實踐能力，還培養了學生的合作學習的精神。

必修五第二章中的一些習題還能培養學生利用“數形結合”“算法”等思想分析問題、解決問題的能力，所以在習題課的教學中我們應該有意識地挖掘，拓展習題的功效，達到通過練習培養學生的數學思維能力目的。

參考文獻：

［1］高中數學必修4（人教A版）教材習題.

［2］波利亞.數學與猜想——數學中的歸納與類比［M］.北京：科學出版社，2001，（7）.

［3］黃立錕.運用“歸納猜想法”培養創造性思維能力.廣西教育，2002，（32）.

［4］陳貴倫.高中數學教學中培養學生創新精神與實踐能力的做法.數學教學研究，2002，（7）.