由數列的遞推公式求通項公式

徐金莊

摘要： 數列的通項公式與遞推公式是表達數列特征與構造的兩種方法.高考試題中往往只給出數列的遞推公式，如果能把遞推公式轉化為通項公式，很多問題就能迎刃而解.本文列舉了六種類型的轉化問題.

關鍵詞： 數列遞推公式通項公式

一、a=a+f（n）型數列

例1.在數列{a}中，a=2，a=a+2n-1，求a.

解：依題意有a-a=1，a-a=3，…，a-a=2n-3

逐項累加有a-a=1+3+…+2n-3==（n-1）=n-2n+1，從而a=n-2n+3.

二、a=a·f（n）型數列

例2. 已知數列{a}中，a=，a=·a（n≥2），求數列{a}的通項公式.

解：當n≥2時，=，=，=，…，=，將這n-1個式子累乘，得到=，從而a=×=，當n=1時，==a，所以a=.

三、a=pa+q型數列

此類數列解決的辦法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解.構造的辦法有兩種，一是待定系數法構造，設a+m=p（a+m），展開整理a=pa+pm-m，比較系數有pm-m=b，所以m=，所以a+是等比數列，公比為p，首項為a+.二是用做差法直接構造，a=pa+q，a=pa+q，兩式相減有a-a=p（a-a），所以a-a是公比為p的等比數列.

例3. 在數列{a}中，a=1，當n≥2時，有a=3a+2，求{a}的通項公式.

解法1：設a+m=3（a+m），即有a=3a+2m，對比a=3a+2，得m=1，于是得a+1=3（a+1），數列{a+1}是以a+1=2為首項，以3為公比的等比數列，所以有a=2·3-1.

解法2：由已知遞推式，得a=3a+2，a=3a+2，（n≥2），上述兩式相減，得a-a=3（a-a），因此，數列{a-a}是以a-a=4為首項，以3為公比的等比數列.所以a-a=4·3，即3a+2-a=4·3，所以a=2·3-1.

四、a=pa+f（n）型數列（p為常數）

此類數列可變形為=+，則可用累加法求出，由此求得a.

例4.已知數列{a}滿足a=1，a=3a+2，求a.

解:將已知遞推式兩邊同除以2得=×+1，設b=，故有b+2=×（b+2），b=-2，從而a=5×3-2.

若f（n）為n的一次函數，則a加上關于n的一次函數構成一個等比數列;若f（n）為n的二次函數， 則a加上關于n的二次函數構成一個等比數列.這時我們用待定系數法來求解.

例5．已知數列{a}滿足a=1，當n≥2時，a=a+2n-1，求a.

解:作b=a+An+B，則a=b-An-B，a=b-A（n-1）-B代入已知遞推式中得:b=b+（A+2）n+（A+B-1）.

令A+2=0A+B-1=0?圯A=-4B=6

這時b=b且b=a-4n+6

顯然，b=，所以a=+4n-6.

五、a=型數列（A，B，C為非零常數）

這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數，把數列的倒數看成是一個新數列，便可順利地轉化為a=pa+q型數列.

例6．已知數列{a}滿足a=2，a=，求a.

解:兩邊取倒數得:=+，所以=+（n-1）×=，故有a=.

六、a=pa+qa型數列（p，q為常數）

這種類型的做法是用待定系數法設a-λa=χ（a-λa）構造等比數列.

例7.已知數列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n≥3），求{a}的通項公式.

解：令a+xa=y（a+xa）比較系數得y-x=2xy=3?圯x=1y=3或x=-3y=-1

所以a+a=3（a+a）及a-3a=-（a-3a）

a+a=3（a+a）=3×7

a-3a=（-1）（a-3a）=（-1）×13

由以上兩式得

4a=3×7+（-1）×13

所以數列的通項公式是a=［3×7+（-1）×13 ］

例8.已知數列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求數列{a}的通項公式.

解：在a=a+a兩邊減去a得a-a=-（a-a）

∴{a-a}是以a-a=1為首項，以-為公比的等比數列，

∴a-a=（-）

令上式n=1，2，3，…，（n-1），再把n-1個等式累加得:

a-a=1+（-）+（-）+…+（-）==［1-（-）］

∴a=1+［1-（-）］