數形結合思想在解題中的應用

高英 張棟

摘要： 數形結合是數學解題中一種常用的思想方法，數與形二者相結合往往能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化.本文主要介紹了數形結合思想在集合，解不等式，直線方程，以及求函數極限之中的應用.

關鍵詞： 數形結合數學解題應用

數形結合是數學學科的重要思想，又是數學研究的常用方法，所謂數形結合思想，就是在研究問題時把數和形結合起來考慮，或者是把問題的數量關系轉化為圖形的性質、把圖形的性質轉化為數量關系，數精確但比較抽象，形直觀但不夠精確，數與形二者相結合便能優勢互補，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.因此，數形結合的思想，就是將復雜或抽象的數量關系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補充、轉化的思想.本文就教學中所出現的問題談談數形結合思想在解題中的應用.

一、關于集合中求差集的運算

集合的運算包括交集、并集、補集和差集，在這幾類運算當中，差集是學生比較難掌握的.我們在解有關差集的題目時可以用文氏圖來分析題目，從圖形上進行觀察，就可以很容易地解題.例如：設A={x|x+2=x}，B={x|=x}，求A-B，B-A.要解這樣的題，首先來回顧一下差集的定義：設A和B是兩個集合，把屬于A而不屬于B的所有元素組成的集合稱為A和B的差集，記為A-B，讀作“A減B”，即A-B={x|x∈A，x?埸B}，如圖（1）所示.也就是說我們要先分別求出兩個集合中所含的元素，并且在A集合中除去B集合中的元素，就可以得到A-B，在B集合中除去A集合中的元素，就可以得到B-A，由此可以得出A-B=A-（A∩B），B-A=B-（A∩B），因此我們先求出A={-1，2}，B={2}，再求出A∩B={2}，因此由圖（2）可以看出A-B=A-（A∩B）={-1}，B-A=B-（A∩B）=?覫.

二、用數軸解不等式組

解不等式組一直是學生比較頭疼的問題，其實在解不等式組的時候，利用數軸來分析，思路會更加明確，直觀清晰，而且充分體現了數形結合的優越性.例如：

解不等式組2x-1＞-xx＜3，我們首先要分別解出2x-1＞-x和x＜3的解集，然后求它們的交集，下面我們用數軸來分析一下.解不等式2x-1＞-x，得x|x＞.解不等式x＜3，得{x|x＜6}.在同一數軸上表示兩個不等式的解，如圖（3），可知所求不等式組的解集是{x|＜x＜6}.

三、根據直線方程的圖像研究直線方程的系數

在我們研究直線方程的過程當中，有時會出現這樣的問題：已知直線方程的圖像，要求從方程的圖像上判斷出直線方程的系數，如圖（4）所示.從圖像上我們可以看出直線的方程穿過了第一，二，四象限且與x軸相交與A點，與y軸相交于B點，而A點位于x軸的負半軸，B點位于y軸的正半軸，由直線的一般方程ax+by+c=0（c≠0）可以得出A點的坐標為-，0，B點的坐標為0，-，因此可以得出-＜0-＞0，解得ab＜0，即a與b異號.

四、求函數的極限

在我們學習函數的極限時會把自變量x的變化趨勢分成兩種情況來研究，一種情況是當x→∞時函數的極限，一種情況是x→x時函數的極限，為了讓學生更加深刻地理解函數極限的概念，通常會通過函數圖像來講解函數值隨自變量的變化情況.例如有這樣一個題目：考察當x→∞時，函數y=的變化趨勢，其實就是求.要解決這樣的問題，在只理解函數極限的概念的情況下，我們只能從函數圖像上進行觀察，如圖（5）所示.圖上虛線分別表示自變量x的變化趨勢，函數圖像的變化趨勢，以及函數值y的變化趨勢.從圖像上可以清楚地看出當x→+∞時，函數圖像成一個上升的趨勢，無限的向y=1這條直線靠近，函數值y也在無限地向1靠近，因此=1，同樣當x→-∞時，函數圖像成一個下降的趨勢，無限地向y=1這條直線靠近，函數值y也在無限地向1靠近，因此=1，因此，根據函數極限的定義，我們可以得出=1.

著名的數學家華羅庚說：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬世事休.”這句話深刻地說明了數形結合在數學學習中的重要作用，因此，教師在數學教學中要恰當地使用數形結合的思想來啟發學生，使學生切身體會到數形結合思想帶來的便利，激發學習熱情.

參考文獻：

［1］周小兵.巧學妙技之數形結合思想［J］.中國科教創新導刊，2009，（36）.

［2］張宏良.淺談數學教學中的數形結合思想［J］.衡水學院學報，2005，03.

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