電磁學在高考理綜卷計算題中考核特點分析

魏冀

摘要： 本文以最近5年高考理綜全國卷為背景，對電磁學綜合知識在計算題中的考核類型進行分析，提出了“電荷運動型”和“導軌運動型”兩種基本考核題型，并詳細分析了其題型標志和解答特點。

關鍵詞： 高考理綜試卷計算題電磁學電荷運動型導軌運動型

計算題型要求考生有扎實的基礎知識和良好的解決問題的思維習慣，能構建理想化的物理模型。統計最近5年貴州省高考理綜試卷計算題的分值分布和考查知識點得到表1，由表可知，計算題作為壓軸其所占分值比重較大。電磁學作為一個重要的知識體系，以電磁學綜合知識的考核為主的計算題每年都會出現。對于大部分考生來說，單純對于某個基礎知識點的考核較輕松。但由于考生的解題思維習慣存在缺陷，對于綜合類題型有畏難情緒，無法及時建立過程化物理模型，解題受阻，一直以來普遍的得分率并不高。據我分析，電磁學類題目雖然紛繁復雜，但其實只有兩種基本類型，各屆高考中這兩種類型題目反復出現。只需掌握其基本特征，解答起來就會輕松快捷。通常題目描述及題目圖形中我們能找到明顯題型標志，依據此迅速判斷出題目類型，確定解答思路，可做出明確解答。

1.兩大題型

我按運動分析主體將電磁學類計算題分為“電荷運動型”和“導軌運動型”；按照電磁場特征將電荷運動型分為“獨立場相加型”和“復合場型”；按照導軌特征將導軌運動型分為“平行導軌型”和“方型線框型”。表2統計了近5年貴州高考理綜卷中電磁學計算題的出現特點。

2.案例分析

下面分別選取四個典型，對前面所提及的類型進行詳細分析。

案例1：2011年全國卷25題：如圖1，與水平面成45°角的平面MN將空間分成Ⅰ和Ⅱ兩個區域。一質量為m、電荷量為q（q>0）的粒子以速度從平面mn上的PO點水平右射入Ⅰ區。粒子在Ⅰ區運動時，只受到大小不變、方向豎直向下的電場作用，電場強度大小為E；在Ⅱ區運動時，只受到勻強磁場的作用，磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向里。求粒子首次從Ⅱ區離開時到達出發點P的距離。粒子的重力可以忽略。

分析：首先依據題目中的“粒子”和圖1中的電磁場分界線“MN”即判定該題屬于典型的“電荷運動型”，電磁場類型屬于“獨立場簡單相加”型。解題思路：依據圖中v與E的方向互相垂直，就可確定粒子的“類平拋運動”，磁場粒子問題一般即是洛倫茲力對粒子的作用，當然就是“圓周運動”，運動形式確定，作出軌跡示意圖，剩下的就是利用“幾何分析”將兩種運動形式連接起來。基本步驟：第一步，電場中的類平拋運動，得水平方向勻速：x=vt,v=v，豎直方向勻加速：y=at=,v=at=，離開電場時的合速度v=；第二步，粒子以前一過程的末速度進入磁場做勻速圓周運動；F=f=qBv=m；第三步，做出運動軌跡，分析幾何關系；第四步、聯立方程組。

結論：可見，對于“電荷運動型”中的“獨立場簡單相加”型題目，只需分別計算帶電粒子在均勻電場中的類平拋運和在磁場中的勻速圓周運動，然后在利用幾何關系將兩組方程聯立即可。簡單來說就是兩運動加一幾何圖形，我稱之為“2+1”解題模式。對于學生來說，只需熟記兩種運動形式的方程組及基本幾何分析技巧，此類型題目是非常容易解答的。

案例2：2010年全國卷Ⅱ26題：圖2中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d,電壓為v；兩版之間有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊右邊有一邊長為a的正三角形區域EFG（EF邊為金屬板垂直）在此區域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區域，并經EF邊中點H射入磁場區域。不計重力。求：(1)已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量。(2)已知離子中的離子乙從EG邊上I點（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為a,求離子乙的質量。(3)若這些離子中的最輕離子的質量等于離子甲質量的一半，而離子乙的質量是最大的，問磁場邊界上區域內可能有離子到達。

分析：依據題目中的“正離子”和圖2左側，即判定該題屬于典型的“電荷運動型”并且電磁場類型屬于“復合場”型。解題思路：離子在復合場中走直線到H。且不計重力，可知在平行金屬板內部區域必定是電場力和磁場力組成一對衡力。而進入三角形的純磁場區域后，運動就變為勻速圓周運動運動。剩下的問題就是幾何分析了。基本步驟：第一步，復合場區域電場力和磁場力平衡qE=qBv?圯q=qBv；第二步，進入三角形磁場區域做勻速圓周運動運動可得：F=f=qBv=m；第三步，做出軌跡示意圖，根據幾何關系分析粒子甲和離子乙的半徑特點，帶入到上面式子中；第四步，聯立方程組。

結論：可見，對于“電荷運動型”中的“復合場”型題目，雖然題目描述量比較大，但分析起來簡單，問題簡化為對平衡力的分析。而后面部分則是前面提及的“獨立場“型的問題了。對于復合場類型的題目解題關鍵即力的平衡問題，簡單來說就是一平衡力兩運動加一幾何圖像模式，我稱之為“1+1+1”解題模式。對于學生來說，力的平衡分析之后就是按照各類場的典型運動方程組再加上基本幾何分析技巧，此類題目同樣迎刃而解。

案例3：2011年全國卷24題：如圖3，兩根足夠長的金屬導軌ab、cd豎直放置，導軌間距離為L，電阻不計。在導軌上端并接兩個額定功率均為P、電阻均為R的小燈泡。這個系統置于勻強磁場中，磁感應強度方向與導軌所在平面垂直。現在將一個質量為m、電阻可以忽略不計的金屬棒MN從圖示位置由靜止開始釋放。金屬棒下落過程保持水平，且與導軌接觸良好。已知某時刻后兩燈泡正常發光。重力加速度為g。求：（1）磁感應強度的大小；（2）燈泡正常發光時導體棒的運動速率。

分析：題目圖像中的“平行軌道”作為最典型的標志，即迅速判定該題屬于“導軌運動型”，解題基本思路：先對導軌受力分析，導軌運動產生感應電動勢及感應電流，再對導軌所組成的電路進行關于電壓電流的分析。基本步驟：第一步，先對導軌受力分析，按照牛頓第二定律列式：F=mg-F=mg-BIl=ma；第二步，對電路進行分析：電路中運動導軌視為忽略內阻的電源，電動勢為ε=BLv,兩個燈泡為并聯，兩端電壓U=U=ε,正常發光時功率為P=P=P=，P=P=IR=P=IR,I=I+I=2I；第三步，找臨界點，可知“某時刻后兩燈泡正常發光”意指此時導軌受力平衡，F=mg-F=0，a=0，速度達到最大值也即燈泡正常發光時導體棒的運動速率；第四步，聯立方程組得出：B=,v=。

結論：“導軌運動型”題目的典型標識就是圖形中的平行導軌，題目分為受力分析和電路分析兩部分，由“運動臨界點”將二者聯系起來。我稱之為“1+0+1”模式。解題思路即是分別對導軌受力分析按照牛頓定律列式和對把導軌視為電源對電路進行串并聯、電壓、電流、功率等分析列式，在利用“臨界點”條件找到兩組方程的共同點，通常即是導軌受力平衡那一點，得到電路中電流與力學量的關系，最后解方程組。

案例4：2009年全國卷Ⅱ卷24題：如圖4，勻強磁場的磁感應強度方向垂直于紙面向里，大小隨時間的變化率=k，k為負的常量。用電阻率為ρ、橫截面積為S的硬導線做成一邊長為l的方框。將方框固定于紙面內，其右半部位于磁場區域中。求：（1）導線中感應電流大小；（2）磁場對方框作用力的大小隨時間的變化率。

分析：“導軌運動型”題目線框運動的典型標識就是圖形中的閉合線框和磁場方向符號，此類題型的主要考查楞次定律，首先根據題意中的磁場變化或者線框運動分析感應電動勢，再來確定電流。有了電流第二步就是討論線框受力問題了。題目先分析電路再分析受力，由安培力將二者聯系起來。

基本步驟：第一步，根據楞次定律，可知磁場變化產生感應電動勢ε==KS=kl，線框電阻R=ρ，可直接得到第一問答案I==；第二步，由題意磁場對方框作用力的大小隨時間的變化率為；第三步，把F=BIl和前面方程聯立得出第二問答案：==kIl=。

結論：“線框運動型”題目的典型標識即圖中閉合線框，題目仍然分為受力分析和電路分析兩部分，由“安培力”將二者聯系起來。我稱之為“1+力+1”模式。解題思路即是分別利用楞次定律對線框電壓電流分析列式，在對線框某邊進行受力分析，再利用“安培力”找到兩組方程的聯系點，通常聯系點即線框電流，最后解方程組。

3.結語

可見，對于“電荷運動型”題目來說，在判斷清楚的前提下，考生的思路可以快速轉移到磁場力和電場力的判斷、圓周運動，平拋運動，和平衡力等基礎知識點的運用。不同運動之間的依靠運動軌跡幾何圖像聯系。對于“導軌運動型”題目來說，其考核基本知識點就是楞次定理，左右手定則，受力分析和電路的電源電動勢和電源內阻等。在受力分析和電路分析之間依靠“臨界點”或“安培力”聯系。只要掌握了基本思路和方法，該類型將由易失分點轉變為得分點。

參考文獻：

［1］教育部.普通高中課程方案（實驗）［M］.2003.

［2］教育部考試中心.普通高等學校招生全國統一大綱（理科，課程標準實驗）［M］.北京：高等教育出版社，2011.