類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

彭端英

摘要： 類比是我們推廣數(shù)學(xué)概念、拓展數(shù)學(xué)命題、探究解題思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想和思維創(chuàng)新的重要推理方法，它是從個(gè)別到個(gè)別，或者說(shuō)是從特殊到特殊的推理。類比推理能啟迪人們的思維，促進(jìn)人們的聯(lián)想，從而可以擴(kuò)大人們的視野，開拓人們的認(rèn)識(shí)。它是一種創(chuàng)造性思維方法，在發(fā)現(xiàn)科學(xué)事實(shí)及提出科學(xué)假說(shuō)方面有著重要的作用。

關(guān)鍵詞： 類比法歸納推理演繹推理數(shù)學(xué)教學(xué)

類比是數(shù)學(xué)猜想和思維創(chuàng)新的指南針。在自然科學(xué)發(fā)展史上，無(wú)論古代、近代，還是現(xiàn)代，類比在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中都是一種被普遍應(yīng)用的方法。類比方法的應(yīng)用是隨著科學(xué)思維水平的提高而不斷發(fā)展的。這種發(fā)展具體表現(xiàn)在：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從定性到定量的發(fā)展。

一、類比

1.類比的涵義

所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個(gè)（兩類）對(duì)象進(jìn)行比較，根據(jù)兩個(gè)（兩類）對(duì)象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個(gè)對(duì)象還具有其他的屬性，由此推出另一個(gè)對(duì)象也具有相似的其他屬性的結(jié)論。簡(jiǎn)稱類推、類比。它是科學(xué)研究中常用的方法之一。

類比是一種推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，做出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡芟嗨频慕Y(jié)論。

?誗相似或相同屬性是推理的依據(jù)，即為前提。

?誗推出兩個(gè)事物的其他屬性相似或相同，即為推理結(jié)論。

?誗例如：

2.類比法的優(yōu)勢(shì)

*類比法不限于同類事物中比較

*類比法不限于事物的個(gè)數(shù)多少

*類比法可以比較本質(zhì)特征也可以比較非本質(zhì)特征

3.類比法的模式表式

M對(duì)象有a、b、c、d屬性

N對(duì)象有a、b、c屬性或a′、b′、c′屬性（表示相同或相似）

所以N對(duì)象可能有d或d′屬性

上述的“M”、“N”是指不同的對(duì)象：或是指不同的個(gè)體對(duì)象，比如地球與太陽(yáng)；或是指不同的兩類對(duì)象，比如植物類與動(dòng)物類；或是指不同的領(lǐng)域，比如宏觀世界與微觀世界。類比推理的應(yīng)用場(chǎng)合是多種多樣的，有時(shí)也可以把某類的個(gè)體對(duì)象與另—類對(duì)象進(jìn)行類比，例如，為了弄清某種新藥物在人類身上的效用和反應(yīng)如何，往往是用某類動(dòng)物個(gè)體來(lái)做試驗(yàn)，然后通過(guò)類比求得答案。

4.類比結(jié)論都是正確的嗎？

答案是否定的。

如果前提中確認(rèn)的共同屬性很少，而且共同屬性和推出來(lái)的屬性沒(méi)有什么關(guān)系，這樣的類比推理就極不可靠。這種類比稱為機(jī)械類比。

類比的結(jié)論是或然的。類比的結(jié)論之所以具有或然性主要是由于以下兩方面的原因；一方面是因?yàn)閷?duì)象之間不僅具有相同性，而且具有差異性。就是說(shuō)，M，N兩對(duì)象盡管在一系列屬性（a、b、c）上是相似的，但由于它們是不同的兩個(gè)對(duì)象，總還有某些屬性是不同的。如果d屬性恰好是M對(duì)象異于N對(duì)象的特殊性，那么我們作出N對(duì)象也具有d屬性的結(jié)論，便是錯(cuò)誤的。例如，地球與火星盡管它們?cè)谝幌盗袑傩陨鲜窍嗨频模ㄌ?yáng)系的行星，存在著大氣層，適于生命存在的溫度，等等），但是地球上有生物，能不能說(shuō)火星上也有生物呢?不能，因?yàn)榛鹦沁€有不同于地球的特殊性。近年來(lái)航天的科學(xué)考察表明，火星上并未發(fā)現(xiàn)什么生物。另一方面，對(duì)象中并存的許多屬性，有些是對(duì)象的固有屬性，有些是對(duì)象的偶有屬性。比如，血液循環(huán)是人體的固有屬性，而吃了雞蛋產(chǎn)生過(guò)敏反應(yīng)，這是個(gè)別人身上的偶有屬性。如果作出類推的d屬性是某一對(duì)象的偶有屬性，那么另一對(duì)象很可能就不具有d屬性。

類比，作為一種推理方法，它是通過(guò)比較不同對(duì)象或不同領(lǐng)域之間的某些屬性相似，從而推導(dǎo)出另一屬性也相似。它既不同于演繹推理從一般推導(dǎo)到個(gè)別，又不同于歸納推理從個(gè)別推導(dǎo)到一般，而是從特定的對(duì)象或領(lǐng)域推導(dǎo)到另一特定對(duì)象或領(lǐng)域的推理方法。

盡管類比推理可以在某類個(gè)體對(duì)象與另一類對(duì)象之間進(jìn)行，但是類比推理卻不能在某類與該類所屬的個(gè)別對(duì)象之間進(jìn)行。如果以為類比推理是歸納推理和演繹推理的壓縮，那就錯(cuò)了。類比推理只能在兩個(gè)不同對(duì)象或不同領(lǐng)域中進(jìn)行過(guò)渡。

有人認(rèn)為存在著這樣一種類比推理：

S類的某一個(gè)體具有屬性a，b，c，d。

S類具有屬性a，b，c。

所以，S類具有屬性d。

這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@是憑主觀想象用類比推理的模式去描述了一個(gè)實(shí)際上是歸納概括的邏輯過(guò)程。誠(chéng)然，無(wú)論是歸納推理還是類比推理都是已有知識(shí)的外推和擴(kuò)展。但是不能因此而混淆了兩種推理方法之間的根本區(qū)別：歸納推理是從個(gè)別（特殊）概括到一般，而類比推理是從某一特定的對(duì)象或領(lǐng)域外推到另一個(gè)不同的特定的對(duì)象或不同的領(lǐng)域。

還有人認(rèn)為有這樣一種類比推理：

S類對(duì)象具有屬性a，b，c，d。

S類的某一個(gè)體對(duì)象具有屬性a，b，c。

所以，S類的某一個(gè)體對(duì)象具有屬性d。

這種觀點(diǎn)同樣也是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@是憑主觀想象用類比推理的模式去描述了一個(gè)實(shí)際上是演繹的邏輯過(guò)程，演繹推理是從一般推出個(gè)別（特殊），而類比卻是從某一特定對(duì)象或領(lǐng)域外推到另一個(gè)特定對(duì)象或領(lǐng)域的。這種根本區(qū)別不能混淆。

二、類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)類比：數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過(guò)類比、歸納等探測(cè)性方法進(jìn)行探測(cè)的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)有關(guān)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。類比、歸納是獲得猜想的兩個(gè)重要的方法。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，如定義、定理、推導(dǎo)公式、證明等，我們常常會(huì)有些“似曾相識(shí)”的感覺(jué)。如果把“似曾相識(shí)”的東西進(jìn)行比較，加以聯(lián)想，可能就會(huì)出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法。這種“把類似進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)”的思維方法就是類比法。

1.公式、定理等形式上類比聯(lián)想

實(shí)踐證明這是正確的。

長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方體有很多屬性相同：對(duì)邊互相平行，鄰邊互相垂直。

其性質(zhì)類比聯(lián)想：長(zhǎng)方形對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)和寬的平方和。

?陴長(zhǎng)方體對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)、寬、高的平方和。

同理：柱體與矩形相似、錐體與三角形相似，臺(tái)體與梯形相似，故進(jìn)一步類比聯(lián)想：

立體幾何知識(shí)是平面幾何知識(shí)的發(fā)展和推廣，在公式計(jì)算，解題方法上有很多相通之處，故立體幾何問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)解決。

2.運(yùn)算、方法等實(shí)質(zhì)上類比聯(lián)想

用字母來(lái)表式數(shù)就有了式，故在加、減、乘、除、通分、約分等運(yùn)算法則上數(shù)與式是相似的。這給我們解決問(wèn)題帶來(lái)了很大的方便。

例：多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式

問(wèn)題：填空：（）（2x+1）=6x+7x+2

這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上求（6x+7x+2）÷（2x+1）=？

用豎式計(jì)算：21 類比 2x+1

用多項(xiàng)式乖法可證明這是正確的。

3.學(xué)思路上類比的助發(fā)現(xiàn)作用

類比還常常被用于解釋新的理論和定義，它具有助發(fā)現(xiàn)作用，當(dāng)新理論剛提出之時(shí)，必須通過(guò)類比用人們已熟悉的理論去說(shuō)明新提出的理論和定義，這就是類比助發(fā)現(xiàn)作用的表現(xiàn)。在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中，類比的這種助發(fā)現(xiàn)作用是不可忽視的。

例如：觀察（1）=2（2）=3

形式上：左式是和取根式，右式是數(shù)乘根式，且數(shù)字位置不變。即有

=a

可證明成立：===a

這是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，很妙的。可是朋友們，再想想還有更妙些的嗎？由推導(dǎo)過(guò)程我們還可發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)指數(shù)與根指數(shù)有關(guān)。可進(jìn)一步推廣到下式成立：

=a

它是從個(gè)別到個(gè)別，或者說(shuō)是從特殊到特殊的推理。類比推理能啟迪人們的思維，促進(jìn)人們的聯(lián)想，從而可以擴(kuò)大人們的視野，開拓人們的認(rèn)識(shí)。它是一種創(chuàng)造性思維方法，在發(fā)現(xiàn)科學(xué)事實(shí)及提出科學(xué)假說(shuō)方面有著重要的作用。類比是我們推廣數(shù)學(xué)概念、拓展數(shù)學(xué)命題、探究解題思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想和思維創(chuàng)新的重要推理方法。

還有如：等差數(shù)列與等比數(shù)列（僅一字之差），無(wú)論是定義上，還是性質(zhì)上、解題方法上都是非常相似的，因此在教學(xué)上教師可以利用類比的方法去引導(dǎo)學(xué)生。在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回憶類比，給學(xué)生創(chuàng)造最佳的思維環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生猜想出新授知識(shí)的內(nèi)容、論證的思想方法，激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，變被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí)。

4.類比推理在圖形推導(dǎo)上的應(yīng)用

△ABC的周長(zhǎng)為l，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形，用S表示的△ABC面積（可作為三角形內(nèi)切圓半徑公式）。

S=S+S+S=AB·r+BC·r+CA·r=lr

（1）理解與應(yīng)用：利用公式計(jì)算邊長(zhǎng)分別為5、12、13的三角形內(nèi)切圓半徑；

（2）類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓）且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；

（3）拓展與延伸：若一個(gè)n邊形（n為不小于3的整數(shù)）存在內(nèi)切圓且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a，a，a，…a，合理猜想其四邊形的內(nèi)切圓半徑公式。

解：（1）S=×5×12=30

30=lr

r=2

（2）r=2S/（a+b+c+d）=lr

（3）r=2S/（a+a+a+…+a）=lr

5.條件判定上的類比推理

例：（2010年南京）學(xué)習(xí)“圖形的相似”后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件。

（1）“對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”類似地，可以得到：“滿足一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似”。

（2）“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，可以得到：“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似”。

證明略。事實(shí)證明這些結(jié)論正確的。

三、合理性原則

為了使類比在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中發(fā)揮有效的作用，人們進(jìn)行類比推理時(shí)應(yīng)當(dāng)注意以下原則。

第一，類比所根據(jù)的相似屬性越多，類比的應(yīng)用也就越為有效。這是因?yàn)閮蓚€(gè)對(duì)象的相同屬性越多，意味著它們?cè)谧匀活I(lǐng)域（屬種系統(tǒng)）中的地位也是較為接近的。這樣去推測(cè)其他的屬性相似也就有較大的可能是合乎實(shí)際的。

第二，類比所根據(jù)的相似屬性之間越是相關(guān)聯(lián)的，類比的應(yīng)用也就越為有效。因?yàn)轭惐人鶕?jù)的許多相似屬性，如果是偶然的并存，那么推論所依據(jù)的就不是規(guī)律的東西，而是表面的東西，結(jié)論就不大可靠了。如果類比所依據(jù)的是現(xiàn)象間規(guī)律性的東西，不是偶然的表面的東西，那么結(jié)論的可靠性程度就較大。

第三，類比所根據(jù)的相似數(shù)學(xué)模型越精確，類比的應(yīng)用也就越有成效。因?yàn)橹挥性诰_的數(shù)學(xué)模型之間作出類比，才能把其中相關(guān)的元素分別地準(zhǔn)確地對(duì)應(yīng)起來(lái)，才能較為有效地作出新的發(fā)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］類比.百度百科.

［2］郭思樂(lè)，劉遠(yuǎn)圖.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).光明日?qǐng)?bào)出版社，1987.

［3］王鋒.江蘇：少年智力開發(fā)報(bào)，（第49期）.