關于雙邊不等式的一種證明方法

李曉東 闕鳳珍

摘要： 有關不等式證明的方法有很多，如單調性、歸納法、極值及凹凸性等，而對雙邊不等式，如果采用一般的證明方法，步驟將繁雜很多.本文借助拉格朗日中值定理求證，使不等式證明達到事半功倍的效果.

關鍵詞： 拉格朗日中值定理不等式證明方法

拉格朗日中值定理：如果函數f（x）在閉區間［a，b］上連續，在開區間（a，b）內可導，那么至少存在一點ξ∈（a，b），使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

從定理中不難發現，ξ∈（a，b），即a＜ξ＜b，這本身就是一個雙邊不等式，而定理結論中有f′（ξ），即含有ξ的代數式，借助a＜ξ＜b這一雙邊不等式，代入f′（ξ）式子中來證明一類雙邊不等式.

例1.證明：na（b-a）＜b-a＜nb（b-a）（0＜a＜b，n＞1）.

證:令f（x）=x，則f（x）在［a，b］上連續，（a，b）上可導，且f′（x）=nx（n＞1），由拉格朗日中值定理，?堝ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），即

b-a=nξ（b-a），

因為0＜a＜ξ＜b，所以a＜ξ＜b，

從而na（b-a）＜nξ（b-a）＜nb（b-a）.

例2.證明：當x＞0時，＜ln（1+x）＜x.

證:設f（x）=ln（1+x），則f（x）在［0，x］上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以

f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0＜ξ＜x），

又f（0）=0，f′（x）=，

所以ln（1+x）=，

又因為0＜ξ＜x，1＜1+ξ＜1+x，＜＜1，

所以＜＜x，

即x＞0時，＜ln（1+x）＜x.

例3.證明:|arctanx-arctany|≤|x-y|.

證:令f（t）=arctant，則f（t）在［x，y］（或［y，x］）上連續且可導，且f′（t）=，故由拉格朗日中值定理，?堝ξ∈（x，y）（或ξ∈（y，x），使得f（x）-f（y）=f′（ξ）（x-y）

即arctanx-arctany=（x-y）

等式兩邊同時取絕對值得

|arctanx-arctany|=（x-y）=|x-y|

又0≤≤1，從而|arctanx-arctany|≤|x-y|.

說明：對于一般的含絕對值的不等式，如果采用不等式的一般證明方法，則首先將絕對值不等式化為雙邊不等式，而本文用拉格朗日中值定理來證，對等式兩邊同時取絕對值，大大簡化了證明過程.

總結：用拉格朗日中值定理證明不等式，關鍵是構造一個輔助函數，并給出適當區間，使該輔助函數在所給的區間上滿足定理的條件，然后借助a＜ξ＜b放大和縮小f′（ξ），推出要證的不等式.

參考文獻：

［1］華東師范大學數學系.數學分析（第三版）［M］.北京:高等教育出版社，2003：217-224.

［2］華東師范大學數學系.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，2003：217-224.