初中數(shù)學(xué)最值問題的解法

趙秀琴

摘要： 最值型數(shù)學(xué)問題不論是在近幾年的競賽還是中考當中都經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值和社會價值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等方面的能力。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)最值問題解法

最值型數(shù)學(xué)問題不論是在近幾年的競賽還是中考當中都經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值和社會價值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等方面的能力.下面就數(shù)學(xué)中常見的最值問題和解法介紹如下.

一、平面幾何的最值問題

平面幾何的最值問題是一類常見的題型，它涉及的知識面廣，綜合性強，解答有一定的難度，下面介紹一種利用“軸對稱”巧解最值問題的方法，舉例說明.

例1：A、B兩點在直線L的同側(cè)，在直線L上取一點P，使PA+PB最小.

分析：在直線L上任取一點P′，連接AP′，BP′，在△ABP中，AP′+BP′＞AB，如果AP′+BP′＝AB，則P′必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點，所以這種思路錯誤.取點A關(guān)于直線L的對稱點A′，則AP′＝AP，在△A′BP中，A′P′+B′P′＞A′B，當P′移到A′B與直線L的交點處P點時PA′+B′P′＝A′B，所以這時PA+PB最小.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)求最值問題

1.一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一次函數(shù)和反比例函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都沒有最值，但在實際應(yīng)用問題當中，自變量在一定范圍內(nèi)取值時，由函數(shù)的增減性知函數(shù)有最值.

例2：學(xué)校需刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費）；若學(xué)校自刻，除租用一臺刻錄機需120元外，每張還需成本4元（包括空白光盤費）.刻錄這批電腦光盤，到電腦公司刻錄費用省還是自刻費用省？請說明理由.

分析：這里刻錄光盤的張數(shù)不知道，所需費用隨光盤張數(shù)的增大而增大，需建立一個函數(shù)關(guān)系.

解：設(shè)需刻錄x張電腦光盤，則到電腦公司刻錄需y=8x元，自錄刻需y=（120+4x）元，所以有：y-y=8x-（120+4x）=4（x-30）;當x＞30時，y-y＞0，∴y＞y;當x=30時，y-y=0，∴y=y;當x<30時，y-y<0，∴y

答：當刻錄光盤數(shù)多于30張時，自刻費用省；當刻錄光盤數(shù)等于30張時，兩者一樣；當刻錄光盤數(shù)少于30張時，到電腦公司刻比較省.

2.二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一般情況下，二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的最值由頂點坐標來確定，這是大多數(shù)同學(xué)容易掌握的.但有時受自變量取值范圍的影響，函數(shù)的最值不是由頂點坐標來確定，這種情況很容易被學(xué)生所疏忽.下面列舉幾例說明.

例3：某商場將每臺進價為3000元的彩電以3900元的銷售價售出，每天可銷售出6臺，假設(shè)這種品牌的彩電每臺降價100x（x為正整數(shù)）元，每天可以多銷售出3x臺.（注：利潤=銷售價－進價）

（1）設(shè)商場每天銷售這種彩電獲得的利潤為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售該品牌彩電每天獲得的最大利潤是多少？此時，每臺彩電的銷售價是多少時，彩電的銷售量和營業(yè)額均較高？

分析：（1）銷售每臺彩電獲利3900-3000-100x=（-100x+900）元，每天銷售量為（6+3x）臺，所以y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400.

（2）y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400=-300（x-）+9075.

頂點為（，9075），又因為x為正整數(shù)，所以當x=3或4時，y取最大值，且為9000元.當x=3時，銷售價為每臺3600元，銷售量為15臺，營業(yè)額為3600×15=54000元；當x=4時，銷售價為每臺3500元，銷售量為18臺，營業(yè)額為3500×18=63000元.通過對比發(fā)現(xiàn)，當銷售價為每臺3500元時，能保證銷售量和營業(yè)額均較高.

小結(jié)：本題頂點（，9075），不能作為二次函數(shù)圖像的最高點的原因是x不能取小數(shù)，所以做題時要注意審題（題中括號內(nèi)已說明x為正整數(shù)），不能放過每一個細節(jié).

因此，做二次函數(shù)最值這一類題目時，要充分挖掘題目中的隱含條件，正確求出自變量的取值范圍。有兩種方法可求出最值：①幾何方法：畫出函數(shù)圖像，找出圖像中的最高點（或最低點），從而求出當自變量為何值時，函數(shù)的最大值（或最小值）是多少？②代數(shù)方法：首先判斷頂點橫坐標是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在，它就是最值點；若不在，它就不是最值點，然后另尋它點.

三、利用不等式求最值問題

例4：某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過預(yù)算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元.

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？

（2）若該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種方案？

分析：本題是消費購物設(shè)計型問題，解決這類問題的基本思路是從實際問題中尋找等量（或不等量）關(guān)系，通過購建方程（或函數(shù)、不等式）模型，從中尋找解決問題的最佳方案.

解：（1）設(shè)購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6-x）臺.

由題意，得7x+5(6-x)≤34;解這個不等式，得x≤2，即x可以取0、1、2三個值，所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺.

（2）按方案一購買機器，所耗資金為30萬元，新購買機器日生產(chǎn)量為360個；按方案二購買機器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元；新購買機器日生產(chǎn)量為1×100＋5×60＝400個；按方案三購買機器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元；新購買機器日生產(chǎn)量為2×100＋4×60＝440個.

因此，選擇方案二既能達到生產(chǎn)能力不低于380個的要求，又比方案三節(jié)約2萬元資金，故應(yīng)選擇方案二.

以上總結(jié)的三種類型是初中數(shù)學(xué)求最值問題常見的類型，遇到這類問題之后只要認真審題，理清思路，就一定會找到最合理的解法.