數學建模的思想和方法

張金海

摘要： 國家新頒布的數學課程標準，倡導學生“自主性學習和探究性學生”的方法，因此，教師要盡量給學生提供開展科學探究的機會，讓學生通過手腦并用的探究活動，體驗探究的過程。而數學建模的思想和方法則很好地體現學生自主探究的思維活動，本文就二次函數的應用，談談數學建模的思想和方法。

關鍵詞： 二次函數數學建模思想方法

先看一個例子：

某棟建筑物，從10米高的窗口用水管向外噴水，如果噴出的水最高點離墻1米，離地面40/3，問水流的落地點離墻的距離是多少？在此問題中，若把從窗口噴出的水流抽象為拋物線（如圖（1）所示）把水流噴出點看做點A，把水流的最高點看做點M，水流落地點看做點B，以墻與地面分別作為y軸和x軸，建立直角坐標系，該實際問題就轉化為這樣一個二次函數的問題：如圖1已知拋物線過點A（0，10），頂點坐標為（1，40/3），求點B的橫坐標。

圖1

像這樣由實際問題抽象得到的數學問題，我們稱之為實際問題的數學模型，具體地說，所謂數學模型，就是把需要解決的實際問題（即現實模型），經過數學抽象和簡化得到的數學形式，這樣的形式必須借助于數學概念和數學符號來描述，同時舍棄與本質無關的一切屬性，它是對原型的數學屬性及其關系的一種概括和近似反映，但相對于要解決的實際問題而論，數學模型更深刻、更正確、更完全地反映著現實。

把所要研究的實際問題，通過數學抽象構造出相應的數學模型，再對數學模型進行研究，使問題得到解決，我稱這樣的方法為數學模型方法，其基本思想是：

返回解釋

（檢驗）

從客觀事實的原型出發、具體構造數學模型的過程叫做數學建模，它一般括以下幾個步驟：

（1）分析原型，考查所給實際問題的基本情形和要達到的目的，分析問題中各量的關系，包括哪些是已知的，哪些是未知的，并依據原型提供的信息，抓住問題的主要矛盾，如上例中所涉及的實際情景是從樓上一窗口向外噴水，已知：噴水點的高度是10米，水流最高點距墻1米，距地面40/3，而水流落地點到墻的距離和已知條件聯系起來。

（2）數學建模，通過分析原型，對其本質屬性進行抽象，并用數學知識和方法去刻畫，從而得到數學模型，將實際問題轉化數學問題，如上例中，水流的路徑可抽象為拋物線，把墻和地面分別看成y軸和x軸，建立直角坐標系，噴水點距離地點10米，所以A點坐標為（0、10），水流最高點距墻1米，距地面40/3米，所以拋物線頂點M的坐標為（1，40/3），求水流落地點離墻距離，即求x軸上點B的橫坐標。

（3）數學求解，運用數學工具對數學模型進行推理或演算，求出相應的數學結果，如上例中，根據數學建模的結果，可設拋物線的解析式為y=a（x-1）+40/3，因為拋物線經過點A（0，10），把x=0，y=10代入解析式，得a=-10/3，所求拋物線為y=-10/3（x-1）+40/3，因為點B在x軸上，所以其縱坐標為0，把y=0代入解析式，得：x=3或x=-1。

（4）返回解釋，把求得的數學結果放到實際問題中去加以分析、評價和解釋，即返回原問題，給出實際的解答。如上例中，求出B點的橫坐標為3或-1，因x=-1不符合題意，必須舍棄。因此，水流與墻的距離為3米，從而使實際問題得以解決。

從上例可知把實際問題通過數學建模轉化為數學問題，可在轉化中讓學生體驗探究的過程，培養學生的探索創新能力和實踐能力，從而激發學生學習數學的興趣，轉化學習方式，培養分析問題、解決問題的能力，形成用數學的意識。

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