一道三角函數問題的多種解法

李偉

解決數學問題常常可以從多個角度出發，靈活把握，使學生的思維得到鍛煉.下面就一道三角函數問題進行說明.

已知y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-對稱，求實數a的值.

解法一：

y=sina2x+acos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=a

∵函數的圖像關于直線x=-對稱

∴2×+φ=+kπ，k∈Z

整理得φ=+kπ，k∈Z

∴a=tan（+kπ）=-1

解法二：

y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=a

∵函數的圖像關于直線x=-對稱

∴當x=-時函數取到最值，即f（-）=±

∴sina2×（-）+acos2×（-）=±

兩邊平方得（1+a）=0

∴a=-1

解法三：

∵f（x）=sin2x+acos2x

∴f′（x）=2cos2x-2asin2x

∵函數的圖像關于直線x=-對稱且函數y=sin2x+acos2x處處連續

∴當x=-時函數取得極值

∴f′（-）=0即2cos（-）-2asin（-）=0

∴a=-1

解法四：

∵函數的圖像關于直線x=-對稱

∴f（-）=f（0），即sin（-）+acos（-）=sin0+acos0

∴a=-1

解法五：

f（x）=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）=sin［2（x+）］，tanφ=a

將函數y=sin2x+acos2x的圖像按照向量=（,0）平移后即得函數f（x）的圖像

∵y=sin2x+acos2x的對稱軸方程為直線x=+，k∈Z

根據平移坐標公式函數f（x）的圖像的對稱軸為x=+-，k∈Z

將x=-代入上述直線方程得到φ=+kπ，k∈Z

∴a=tan（+kπ）=-1

解法六：

-（|sin2x|+|acos2x|）≤sina2x+acos2x≤|sin2x|+|acos2x|且-≤sin2x+acos2x=sin（2x+φ）≤，其中tanφ=a

∴|sin2x|+|acos2x|≤（＊）

∵函數的圖像關于直線x=-對稱

∴當x=-時函數取得極值，即當x=-時不等式（＊）取得等號

∴|sin（-）|=|acos（-）|，∴a=±1

經檢驗當a=1時與題意不符，舍去，∴a=-1.