巧用空間向量求解二面角大小

劉紅祥

摘要： 新教材引入空間向量，大大降低了處理立體幾何相關角的求解難度，但求解二面角時還需根據(jù)圖形判斷其平面角的范圍，這又添加了難度.本文闡述巧用空間向量及其相關運算順利且準確求解二面角大小.

關鍵詞： 空間向量空間立體感二面角

傳統(tǒng)教材中二面角大小求解通常必須先通過作圖找出其平面角再求其大小，而作圖對空間想象能力要求較高，這也導致對大部分學生而言求解二面角大小一直是個難點.新課程引入空間向量，為處理立體幾何尤其是相關角的求解問題提供了新的方法，大大降低了求解難度.蘇教版新教材利用空間向量的數(shù)量積求解二面角兩面法向量的夾角，根據(jù)二面角的平面角與這兩法向量的夾角相等或互補的關系求解二面角大小，但是如何判斷這兩法向量的夾角與二面角的平面角是“相等”還是“互補”呢？教材通過兩個例題說明“根據(jù)圖形可知”.根據(jù)圖形判斷這二者之間的關系反而提高了對空間想象能力的要求，況且如果二面角的平面角非常接近直角（如例1），則又 “根據(jù)圖形”判斷呢？

按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個向量都是共面向量的知識，我們只要在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作和二面角的棱垂直的向量，并且兩向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個向量所成的角的大小就是二面角的大小.根據(jù)“共線向量定理”可得：若P、A、B三點共線，點O為空間任一點，則存在實數(shù)λ，使得=λ+（1-λ）.于是在二面角某半平面內(nèi)可分別取四個點P、A、B、E（其中點P不在棱上，A、B、E三點均在棱上），則存在實數(shù)λ，使得=λ+（1-λ）.由與垂直，可求出實數(shù)λ，即==λ+（1-λ）.同理在另一半平面內(nèi)可求得==λ+（1-λ），則所求二面角的大小就是兩向量與的夾角.

例1.已知△ABC和△DBC所在平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的平面角的余弦值.

解：法一：設BC=1，以點B為坐標原點，平面BCD為xoy平面，方向為x軸正方向建立空間直角坐標系，

則B（0，0，0），A（-，0，），C（1，0，0），D（-，-，0）

=（，0，-），=（0，-，-），=（-，-，0）

分別過點A、C作AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分別為E、F，

設=λ+（1-λ），則由⊥可求得λ=，

即=+，同理可求得=-.

記向量與夾角為〈，〉（下同），

則cos〈，〉==-

而〈，〉等于二面角A-BD-C的平面角的大小

∴二面角A-BD-C的平面角的余弦值為-.

法二：同法一建立空間直角坐標系，易知=（0，0，1）是平面BCD的一個法向量.

設=（a，b，c）是平面ABD的一個法向量，

則由?=0，?=0，得：-a+c=0-a-b=0

令c=1，則a=，b=-1，即=（，-1，1）是平面ABD的一個法向量.

故cos〈，〉==.

根據(jù)圖形可知：二面角A-BD-C的平面角與〈，〉互補，它的余弦值為-.

在上述兩種解法中，方法一運算量較大但運算結(jié)果準確；方法二盡管運算量較小，但對空間立體感要求較高，許多學生誤以為二面角A-BD-C的平面角與〈，〉相等，易得錯誤答案.即使部分學生運氣較好地“猜”對結(jié)論，我們也不能將數(shù)學結(jié)果建立在“運氣好”與“猜”的基礎上，這就違背了數(shù)學的嚴謹性.

例2.已知正三棱柱ABD-ABC的所有棱長均為2，D為CC的中點，求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.

解：法一：令不共面向量=，=，=為基向量

過點A作AM⊥DA于點M，設=++=（λ+1）+（λ-1）

∵⊥

∴?=0解得λ=

故=-

同理，過點B作BN⊥DA于點N，得：=-++

∴cos〈，〉==

而〈，〉就是二面角A-AD-B的平面角的大小

∴所求二面角的平面角的余弦值為.

法二：分別取BC、BC中點O、O，以O為原點，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，1，0），A（0，2，），A（0，0，），B（1，2，0），

過點A作AM⊥DA于點M，

設=++=（-1+λ，1+λ，-+λ）

由⊥得λ=

故=（-，，-）

同理過點B作BN⊥DA于點N，則可得=（-，，）

∴cos〈，〉==

∴所求二面角的平面角的余弦值為.

從上述兩個例題中，我們可以得出：在求解二面角大小時，或許我們空間立體感不強，但我們只需利用空間向量的相關運算就可順利且準確地求解，而不必去 “猜”結(jié)果.