八元數上矩陣行列式的一種定義及幾個性質

王丹

摘要： 本文采用代數余子式的方法，給出八元數矩陣行列式的定義，本定義不需規定結合方式，運算比較簡單，具有較好的運算性質.但是，與實數、復數，以及四元數的相應的情形比較，如此定義的行列式，其所具備的運算性質較少.本文給出了一種新的八元數行列式的定義，它們具備了盡可能多的運算性質.

關鍵詞： 八元數矩陣行列式定義性質

設任意一個八元數x∈O，都可以表示為x=x+xe+xe+xe+xe+xe+xe+xe，其中x，x，x，x，x，x，x，x∈R，八元數的加法是所對應相加，乘法由文［1］中乘法表完全由確定.由于八元數O的乘法既不滿足交換律又不滿足結合律，如何在八元數O上定義n階矩陣A的行列式|A|，使其運算盡可能簡單，盡量少選擇（或不選擇）運算順序，性質的滿足盡可能多，而當A一般數域P上n階矩陣時，|A|等于取至于不同的行與不同的列的n個數乘積的代數和.文［1］作者在文［1］中指出文［2］給出八元數矩陣行列式的定義的不足.文［1］首先規定了八元數乘法的左右結合積：

“約定n個有序八元數x，x，…，x，x的左結合積為（（…（（xx）x）…）x）x，類似定義n個八元數x，x，…，x，x的右結合積.”

再利用n階對稱群［3］給出矩陣行列式如下的定義：

“設A∈O，即A為以八元數為元素的n階矩陣.設S是n文字的對稱群，設σ=（i，i…i）∈S，σ=（j，j，…j）∈S與其對應的n個元素a，a，…，a共有n!種不同次序的排列，其所有排列的左結合積之和，記為〈a，a，…，a〉，同樣其所有排列的右結合積之和，記為〈a，a，…，a〉.以τ（σ）代表σ=（i，i，…，i）的反序數，τ（σ）代表σ=（j，j，…，j）的反序數.易知τ（σ）和τ（σ）與其對應的n個元素〈a，a，…，a〉a，a，…，a的乘積的次序與結合方式無關.令

〈a，a，…，a〉=〈a，a，…，a〉+〈a，a，…，a〉

我們定義|A|如下：

|A|=（-1）〈a，a，…，a〉.”

顯然此定義滿足了較多行列式運算性質，對性質的證明也不困難.但是運算較復雜，因為一個n階行列式展開后是2（n!）項的代數和，而每一項又是n個元素的乘積，這給實際運算八元數行列式帶來了困難.

以下采用代數余子式的方法，給出八元數矩陣行列式的一種定義，本定義不需規定結合方式，具有與文［1］中的定義相同的性質，運算比文［1］中的定義要簡單得多，而這些性質的證明都是非常容易的.

一、八元數矩陣行列式的定義

設A=aa…aaa…a…………aa…a

是八元數O上的n階矩陣，它的n階行列式

|A|=aa…aaa…a…………aa…a=（aA+Aa）

其中A=（-1）M，M是在A中劃去元素a所在的第i行與第j列，剩下的（n-1）個元素按原來的排法構成一個n-1階行列式

a… aa …a…… …… ……a …aa …aa …aa …a…… …… ……a… aa …a

稱為元素a的余子式，A=（-1）M稱為元素a的代數余子式.

例如：|a|=a

aaaa=（aa+aa-aa-aa-aa-aa+aa+aa）=（aa-aa-aa+aa）

顯然若A是實數域、復數域、四元數上的n階矩陣，則detA=|A|.

二、八元數矩陣行列式的性質

性質1：若A是八元數O上n階矩陣，則|A|=|A|.

證明：當n=2時，

|A|=aaaa=（aa-aa-aa+aa）=aaaa=|A|.

即當n=2時性質1成立.假設對于所有n-1階八元數矩陣行列式，性質1都成立.

對于n階行列式

aa…aaa…a…………aa…a=（aA+Aa）

這里的A都是n-1的行列式，由歸納假設，性質1對于所有n階八元數行列式都成立

性質2：若把八元數上n（n＞1）階行列式中兩行（列）互換，則行列式改變符號.即

（i）（j）aa …a…… ……aa…a…… ……aa…a…… ……aa …a=-aa…a…………aa …a…………aa …a…………aa…a（j）（i）

證明：當n=2時，

aaaa=（aa+aa-aa-aa-aa-aa+aa+aa）=（aa-aa-aa+aa）

=-（-aa+aa+aa-aa）

=-aaaa

所以，當n=2時性質2成立.假設對于所有小于n階八元數矩陣行列式，性質2都成立.再看n階的情況，首先考慮交換相鄰的情況，不妨設第s行與第s+1行交換，設

D= aa… a ……… … aa… aaa…a …… … … a a … a=（aA+Aa）

= aa … a …… … …aa…a a a … a ……… … aa… a=（a+a）

所以

=［（a+a）+（a+a）+a（+a）+（a+a）］

因為（i=1，…，s-1，s+2，…，n，j=1，2，…，n）都是n-1階的行列式，由歸納假設，有=-A，而=-，

從而（a+a）=-（aA+Aa）.

即=-D

交換不相鄰的兩行，總可以通過交換相鄰兩行來實現.事實上：設第r行與第s（1＜r＜s）交換，這時可將第r行通過s-r次相鄰交換變到第s行，這時符合改變了s-r次，再將第s行通過s-r+1次相鄰交換可變到第r行，這時符合改變了s-r+1次，因此第r行與第s交換是經過2（s-r）+1次的相鄰交換得到的，符合改變了2（s-r）+1次.

從而性質2成立.

本文給出的代數余子式的方法來定義八元數上矩陣行列式不需規定結合方式，且具有與文［1］中的定義相同的性質，運算比文［1］中的定義要簡單得多，而其中性質1、性質2較其證明相對容易.且運算比較簡單，而且可以滿足行列式相關性質.但在如何在八元數O上定義n階矩陣A的行列式|A|，以及在解決八元數上n（n＞1）階矩陣的行列式不能化為上（下）三角形行列式來計算的問題上仍需作進一步的探討.

參考文獻：

［1］李興民，袁宏.八元數矩陣行列式的定義及其性質［J］.數學學報，2008（5）.

［2］Li.X.M.，Li.L.，Octonionicdeterminants，preprint

［3］BaezJohnC.TheOctonionis.BullAmerMathSoc2002.39.