用好教材，開發設計研究性課題

孔慧

隨著素質教育的深入開展，數學研究性學習這一對提高學生各方面能力有巨大促進作用的獨立課程將受到學校教學的高度重視。中學數學研究性課題的開發也將備受重視。

目前，在中學數學教育中，課堂仍是主陣地。因此，立足于課堂，深入挖掘教材是開發研究性課題的基礎。本文從如何充分使用挖掘教材的角度來淺談研究性課題的開發。

1.從例題中發掘研究性課題

經過新一輪的數學教科書的改革，現行數學教材更加注重例題中情境的創設，許多例題不但具有明顯的開放性，蘊含著更多的時代氣息，而且與現實生活和社會有著更緊密的聯系。以教材中的例題作為研究性課題的開發源泉，有利于研究性課題與學生所學的數學基本知識緊密結合，既體現了可行性原則又使學生看到和感受到所學的數學知識不僅是一個理論的空架子，而且是具有實際用途的工具，從而激發學生的求知欲，增強學生投身于研究性學習的積極性。

如人教版高中數學新編教科書A版124頁例6：某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如表1：

（1）根據表1提供的數據，你能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似的反應這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的關系？試寫出這個函數模型的解析式。

（2）若體重超過相同身高男性體重平均的1.2倍為偏胖低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區一名身高為175cm體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

此例突破以往數學例題中條件與結論的和諧性，例題具有真實性，貼近在校學生生活實際，學生樂意學習。通過學習，學生經歷直觀發現、觀察猜想、大膽設計、合理推證。整個解題過程中貫穿了數形結合思想和函數與方程思想，通過學習使學生進一步加深了對函數建模的理解。其中三角函數的應用發展了學生的數學應用意識，培養了學生數學應用能力。鑒于此題的優點再結合研究性課題開發的原則。可設計如下源于課本知識又高于課本知識的研究性課題。

課題1：與體重有關的因素的調查研究：

（1）參照124頁例6你能否調查出咱班男生的體重還與哪些因素有關？

（2）選出一種你認為與體重關系比較密切的因素搜集相關數據，整理成表格并分析此種因素是如何對體重產生影響的？

（3）嘗試建立恰當的函數模型；

（4）驗證你的模型是否正確。

上述設計的課題較課本例題多了調查與搜集數據的過程，使學生不再局限于課堂學習，鍛煉了學生提出問題和搜集數據的能力。而第四個問題對學生能力的要求比較高。但學生只要“跳一跳就夠得著”。針對第四個問題老師可以指出有關的參考書如：《中學數學建模》，葉其孝著，湖南教育出版社，1998年9月。《中學數學建模讀本》，孔凡海編，江蘇教育出版社。還可以給出一些網站供學生查詢。此類課題不僅可鍛煉學生查閱，搜集資料的能力，還可以鍛煉學生的自學能力。通過自學可以讓學生接觸到建立數學模型的一種常用方法——數據擬合法。這就與大學的課程聯系了起來，從而讓研究性課題上升到一定的高度，并有助于學生消除頭腦中所形成的“數學僅是高考敲門磚”的錯誤思想。同時要求學生利用圖形計算器研究他所選擇的因素與體重有怎樣的變化規律。這種由實際問題引入，建立數學模型，利用圖形計算器直觀地反映實際問題的變化規律，可使學生更好地理解函數的意義，認識到數學應用的廣泛性，既體現數學解決實際問題的價值，又增強學生學好數學的動機和信心。

2.從閱讀材料中發掘研究性課題

人教版高中數學教科書A版中每章都有一到兩篇“閱讀材料”，為我們開發研究性課題提供了好的素材。

閱讀材料中有些介紹了一些數學的發展史，通過這些閱讀材料，我們可以探尋數學歷史中的重大事件，發現隱藏在這些事件背后的故事。使學生了解某一方面數學知識的發展歷史，了解此數學知識在社會發展中的作用。如：高三數學第二章的閱讀與思考介紹了斐波那契數列的產生背景，重要性質及與斐波那契數列相關的一些社會現象或生命活動，同時還介紹其在社會生活中的應用。

課題2：通過閱讀與斐波那契數列的有關資料及通過觀察驗證斐波那契數列，請研究如下的問題：

（1）你能否發現斐波那契數列的其他一些性質？

（2）瀏覽互聯網或查閱相關書籍看看可能你得出的結論是否正確？從你搜集的資料中你又能得到斐波那契數列的那些性質？

（3）考查斐波那契數列在實際生活中有哪些應用？

有些閱讀材料講述了一些數學家的偉大發現及生平趣聞。從中我們可以開辟新的途徑去設計研究性課題使學生不但能了解杰出的數學家及其貢獻，還可以探尋出數學家在發現其偉大發現時是如何思考，如何進行探索的。這有助于學生形成良好的數學思維能力。如：數2第三章的閱讀與思考“笛卡爾與解析幾何”通過這則閱讀材料可以設計研究性課題。

還有些閱讀材料介紹了與現實生產或生活中密切相關的一些數學知識。如：數學3第二章中的閱讀材料“生產過程中的質量控制圖”。通過這則閱讀材料可以設計如下的研究性課題：

課題3：（1）談談你對標準差的認識；（2）舉出一個總體分布在產品質量控制中的應用的例子，并說明總體分布是如何實現產品質量控制的？

3.從教材中的數學概念及定理中發掘研究性課題

整個中學數學教學中，貫穿其中的是“定義—定理—證明—應用”，如此規范的模式展示給學生的只是組織好了的，近似完美的數學系統，卻掩蓋了數學產生及數學家學創造活動的其他重要因素。對這些概念及定理從何而來？為何而來？幾乎茫然無知。弗賴登塔爾認為教學不應該將數學作為一種現成的產品提供給學生，而應該讓學生在自主的活動中把數學“做出來”，這種活動的核心是學生的“再創造”，“再創造”為學生記憶數學知識提供直接經驗的支持，是彌補語言信息局限、健全記憶結構的重要手段。良好的記憶結構不僅包含抽象系統的學科知識，還包括大量隱性的、形象的經驗背景。所以挖掘和揭示教科書中的概念和定理的產生與形成過程，并將學生的思維引入知識的發現及再發現的過程中去，以促進學生思維能力和創新能力的發展。同時，還可研究一些定理的應用，從而加深對定理的理解及增強對知識的靈活應用能力。針對某個概念或定理，我們可以設計相關的研究性課題。

課題4：函數概念的由來與發展

函數知識是中學數學的核心內容。學生是否真正理解函數概念關鍵在于其表象（函數的解析式、圖像等）的形成與發展水平。這一研究性課題的開設不但可使學生頭腦中對函數有一個清醒的認識，為學習以后的各種函數打下堅實的基礎，而且可使學生意識到數學是不斷發展變化的，每一次發展變化都凝結著人類的智慧。

課題5：韋達定理的應用

韋達定理也就是根與系數的關系定理是中學數學學習的重點內容，開展對此定理的應用的研究，不但可以鞏固學生所學的知識，而且可以開闊學生的思維，使學生全面地看待問題。

4.從教材的其他教學內容中發掘研究性課題

中學數學教學內容除例題、概念、定理外還含有大量豐富多彩的內容，其中必蘊含著大量的可供研究的課題。這種來源于數學教學內容的研究性課題不但讓學生有效地鞏固了所學的內容，更重要的是可讓學生感悟到數學是一個有機整體，很多知識不是像教科書所呈現的那樣好像彼此之間是孤立的，而是相互聯系的。這有助于學生從多角度、多層次思考問題，從而使解決問題的策略更加靈活多樣。若我們從數學教學內容上發掘研究性課題，則將使學生學習數學知識及鍛煉數學能力達到事半功倍的效果。在學習了指數函數與對數函數之后，可讓學生對數進行一番研究。

課題6：漫談e：

（1）通過查閱資料談談數e的由來；

（2）談談數e的發展史；

（3）以為底的對數為何稱為自然對數？

（4）談談指數函數ex，對數函數lnx的一些應用.

通過以上方面讓學生開展研究性課題，從而使學生揭開e，ex及lnx的神秘面紗，使學生通過親身體會感悟到現實的需要產生了數學，然后又用數學的結論去解決更多的實際問題。從而有助于培養學生的數學應用意識。