考研數學中的級數問題分析

陳曉兵

摘要： 級數斂散性判定、級數的求和與函數的級數展開，是研究生入學考試中的常見問題，本文以近年考研題為例進行級數問題的分析.

關鍵詞： 考研數學級數斂散性冪級數傅里葉級數

級數是考研數學中的一個重要內容，常以解答題的形式出現，主要有如下三個方面的題型：一是級數斂散性的判定問題，二是級數的求和問題，三是函數的冪級數展開與傅里葉級數展開的問題.以下是以近年考研題為例，對級數問題所作的幾點分析.

一、級數斂散性的判定

考研中級數的斂散性問題，以求冪級數的收斂域為常見，常用工具是比值判別法.對于冪級數 a x ，當<1時，冪級數收斂；當>1時，冪級數發散；而當=1時，冪級數可能收斂也可能發散，此時需通過數項級數判別法進行判斷.

例1：求級數x 收斂域.【2012數學（一）第17題第一問】

解：由==|x |<1，得-1

當x=±1時，x =，而≠0，級數發散.

所以冪級數x 收斂域是（-1，1）.

例2：求級數x 收斂域.【2010數學（一）第18題第一問】

解：由==|x |<1，得-1

當x=±1時，x =是交錯級數，收斂.所以級數x 收斂域是[-1，1].

二、級數的求和問題

1.數項級數求和

設級數 u 前n項和為s =u +u +…+u ，則級數所有項的和S= s .數項級數常用的求和方法有兩種，一種是直接計算極限 s ，另一種方法是間接法，即借助已知的冪級數的和函數來求，常用的和函數有： x = （-1

例3：設a 為曲線y=x 與y=x （n=1，2，…）所圍成區域的面積，記S = a ，S = a ，求S 與S 的值.【2009數學（一）第16題】

解：如圖可知：

a =？蘩x dx-？蘩x dx= x - x = -

∴S = a = （ - ）= （ - ）=

S = a = （ - ）=（ - ）+（ - ）+…+（ - ）+…=

∵ （-1）=- （-1）=- （-1）=ln（1+x）（-1

∴ （-1）=-ln（1+x）

∴x =x+x =x-ln（1+x）

∴S ==1-ln（1+1）=1-ln2.

這里，S 采用直接計算法，而S 用間接計算法，借助了已知冪級數 （-1）=ln（1+x）來求，考研中的解答題一般會涉及多個知識點.

2.冪級數求和

冪級數求和是級數中的一個難點問題，但解題思路卻比較明確，一般用間接法求解.也就是先把所給冪級數轉化為已知的冪級數表示，然后利用已知的冪級數求和.如何用已知冪級數去表示所求冪級數，是解題的難點.解題時應注意對所給冪級數的項進行分析，將它的項與已知冪級數的項進行比對，常可通過提取公因式、系數分拆、求導、求積等手段尋找到它們之間的關系，進而將所給冪級數用已知冪級數表示，然后求和.

例4：求級數x 的和函數.【2012數學（一）第17題第二問】

分析：由例1可知級數的收斂域為（-1，1），注意到對于冪函數x ，分別有如下“積分”和“導數”關系：？蘩x dx= x +C，（x ）′=（2n+1）x ，拆分所給冪函數項的系數，可將其轉化為冪級數 x 來求.

解：當x=0時，x =3，

當-1

∴x =（ x ）′+ ？蘩 x dx=（ ）′+ ？蘩 dx= + ln

∴x =3 x=0 + ln -1

例5：求級數x 和函數.【2010數學（一）第18題第二問】

解：x =xx =x？蘩（x ）′dx=x？蘩 （-1） x dx

=x？蘩 dx=xarctanx

三、函數的冪級數展開與傅里葉級數展開

函數的冪級數展開與傅里葉級數展開是級數，也是考研級數中常見問題.一般的，函數的冪級數展開主要用間接法，即將所給函數化為“已知函數”后再展開，而函數的傅里葉級數展開則用直接法，即通過公式先計算傅里葉系數，然后將函數展開為傅里葉級數.

1.函數的冪級數展開

用間接法將函數展開成冪級數時，常用的“已知函數”有： = x （-1

例6：將f（x）= 展開成x的冪級數.【2006數學（一）第17題】

分析：函數f（x）= 是分式結構，已知函數中具有分式結構的是 與 .

解：設 = + = ，得A-B=1A+2B=0？圯A= B=-

所以f（x）= · - · = · - · = （ ） -（-1） x =[ -（-1） ]x ，-1

2.函數的傅里葉級數展開

以2π為周期的函數f（x）的傅里葉級數為f（x）= + （a cosnx+b sinnx），其中傅里葉系數a = ？蘩f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…），b = ？蘩f（x）sinnxdx（n=1，2，…）.特別的：當f（x）是奇函數時a =0，b = ？蘩f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；當f（x）是偶函數時，b =0，a = ？蘩f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）.

例7：將f（x）=1-x （0≤x≤π）展開成余弦型級數，并求級數的和.【2008數學（一）第19題】

解：因為f（x）=1-x 是偶函數，所以b =0.

∵a = ？蘩（1-x ）cosnxdx= ？蘩cosnxdx- ？蘩x cosnxdx= sinnx|- ？蘩x dsinnx

=- x sinnx|+ ？蘩xsinnxdx=- ？蘩xdcosnx=- xcosnx|+ ？蘩cosnxdx

=- cosnπ+ sinnπ|=- ·（-1） =（-1）

而a = ？蘩（1-x ）dx= （x- x ）|=

∴f（x）=1-x = + a cosnx= + （-1）cosnx

∴f（0）= + （-1）

∴ （-1）= [1- ]=