利用構(gòu)造法解初中代數(shù)題的意義

劉翠華

初中代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，本文主要從解代數(shù)題這一角度出發(fā)，研究如何應(yīng)用構(gòu)造法解代數(shù)題，以及利用構(gòu)造法解初中代數(shù)題的意義。

一、初中代數(shù)的內(nèi)容聯(lián)系及地位作用

初中代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分。它包括數(shù)、式、方程和不等式、函數(shù)的初步知識(shí)及統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)這五部分基本內(nèi)容。笛卡爾模式告訴我們，一切問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。這個(gè)模式雖不是萬能的，但它在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)確有重要作用。研究初中代數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的前提與基礎(chǔ)。在初中代數(shù)中，方程處于承前啟后的地位，它前承數(shù)、式的學(xué)習(xí)，后啟不等式、函數(shù)的學(xué)習(xí)，它們相輔相承、相互作用，構(gòu)成了初中代數(shù)的理論基石。

二、利用構(gòu)造法解代數(shù)題的實(shí)質(zhì)

利用構(gòu)造法解代數(shù)題，就是根據(jù)需要與可能構(gòu)造出題設(shè)條件所沒有給出的數(shù)（或式）、方程、不等式、函數(shù)、圖形、命題等，以溝通題設(shè)條件與待求或待證結(jié)論的一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)方法。

三、利用構(gòu)造法解代數(shù)題應(yīng)注意的問題

利用構(gòu)造法解代數(shù)題，需要搞懂兩個(gè)問題：（1）弄清為什么目的而構(gòu)造，明確構(gòu)造方向；（2）全面分析題設(shè)條件及結(jié)論特點(diǎn)，設(shè)計(jì)構(gòu)造方案。這兩個(gè)問題是用構(gòu)造法解決代數(shù)題的關(guān)鍵。

四、利用構(gòu)造法解初中代數(shù)題的幾種常見情形

1. 構(gòu)造輔助函數(shù)

所謂構(gòu)造輔助函數(shù)，就是依據(jù)給定問題的條件與結(jié)論，構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)解析式，利用函數(shù)的某些性質(zhì)和圖象來幫助解決問題。

例：若x，y，z∈（0，1），則有x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

證明：構(gòu)建一次函數(shù)f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）從而，于是對(duì)0＜x＜1，都有f（x）＜1，從而有（1-y-z）x+y（1-z）+z＜1即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

2. 構(gòu)造輔助數(shù)與式

根據(jù)問題的特征，構(gòu)造出一個(gè)聯(lián)系條件和結(jié)論的數(shù)或式子，架起一座解題的橋梁。

例：試證在0與1之間有無窮個(gè)有理數(shù)。分析：此題從正面思考較困難，可使用反證法并通過構(gòu)造新數(shù)導(dǎo)出矛盾。

證明：假設(shè)在0與1之間僅有n個(gè)有理數(shù)a1，a2，…an，由于任兩個(gè)有理數(shù)之積仍是有理數(shù)，于是構(gòu)造一個(gè)與a1，a2，…an都不相同的有理數(shù)p=a1?a2……an。∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，…，0＜an＜1，∴0＜p＜1則說明在0與1之間至少有n+1個(gè)有理數(shù)，這與假設(shè)矛盾，故在0與1之間有無窮個(gè)有理數(shù)。

3. 構(gòu)造輔助方程（或方程組）

有些數(shù)學(xué)計(jì)算或證明問題，與方程的求解密切相關(guān)，我們可通過分析構(gòu)造出相應(yīng)的方程（或方程組），然后由方程的求解或解的性質(zhì)使問題得到解決。

例：已知方程組3x+7y+z=34x+10y+z=4，求x+y+z的值。

分析：兩個(gè)方程含三個(gè)未知數(shù)，不易解出各未知數(shù)，但觀察待求結(jié)論與已知方程組的特征，可將x+y+z看成一個(gè)“未知數(shù)”，將原方程組變形為含兩個(gè)“未知數(shù)”的二元一次方程組，問題便迎刃而解。

解：原方程組可化為（x+y+z）x+2（x+3y）=3 ，（1）（x+y+z）x+3（x+3y）=4 ，（2）

（1）×3－（2）×2得=1。

4. 構(gòu)造輔助不等式（或不等式組）

有些數(shù)學(xué)問題，蘊(yùn)涵著量與量之間的不等關(guān)系，可通過建立不等式（或不等式組），使問題得到解決。

例：某廠生產(chǎn)一種機(jī)器零件，固定成本為20 000元，每個(gè)零件成本為3元，售價(jià)為5元，應(yīng)納稅為總銷售額的10%，若要使利潤超過固定成本，則該零件至少要生產(chǎn)銷售多少個(gè)？

解：設(shè)零件至少銷售x個(gè)，總售價(jià)為5x元，成本為3x元，納稅5x×10%，則可構(gòu)建不等式5x-（3x+5x×10%）＞20 000。

解得x＞13 333。又因x為整數(shù)，所以該零件至少要生產(chǎn)銷售13 334個(gè)。

5. 構(gòu)造輔助圖形

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。”數(shù)形結(jié)合，相得益彰。根據(jù)代數(shù)題目特點(diǎn)，構(gòu)造所涉及元素的圖形，則可化抽象為形象，借助直觀啟發(fā)思維，從而快速找到解題思路，收到事半功倍的效果。下面分兩方面來闡述。

（1）圖示法：借助圖表來說明問題的方法叫做圖示法。

用韋恩圖表示集合之間的關(guān)系。由于初中數(shù)學(xué)中已滲透了集合思想，所以可借助韋恩圖直觀地顯示出各集合之間的關(guān)系。一般用圓面來表示集合，兩個(gè)圓面相交，則表示兩個(gè)集合含有公共元素，兩個(gè)圓面相離，則表示兩個(gè)集合不含公共元素。

例：某學(xué)校共有三個(gè)科技興趣小組：天文、環(huán)保和計(jì)算機(jī)。已知參加三個(gè)興趣小組的學(xué)生分別是24、25、30人；同時(shí)參加天文、環(huán)保興趣小組的有5人，同時(shí)參加天文、計(jì)算機(jī)興趣小組的有2人，同時(shí)參加環(huán)保、計(jì)算機(jī)興趣小組的有4人，有1人同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組，問共有多少個(gè)學(xué)生參加了科技興趣小組？

解：根據(jù)題意構(gòu)造圖（見下圖），可知參加科技興趣小組總?cè)藬?shù)為：

18+17+25+4+1+3+1=69（人）

（2）幾何圖形法。

有些問題表面上看屬于代數(shù)問題，但運(yùn)用代數(shù)方法又難以求解，這時(shí)不妨換個(gè)角度去思考，根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造出與之相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，問題使可解決。

6. 構(gòu)造輔助命題

當(dāng)某些命題不易直接入手論證時(shí)，可去構(gòu)造其輔助命題，使綜合問題逐步分解轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決的目的。

例：若a3+b3+c3-3abc=0，且a+b+c≠0，則a=b=c。

證明：構(gòu)造輔助命題：若a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，則a=b=c。

∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

∴a-b=b-c=c-a=0，即a=b=c。

又a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），

且a+b+c≠0，∴a=b=c。

綜上所述，數(shù)學(xué)是在學(xué)習(xí)期間培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的最有效途徑之一。構(gòu)造法正是創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)中的一種具體體現(xiàn)。它不僅培養(yǎng)了學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性、多向性、靈活性與批判性，同時(shí)把多種數(shù)學(xué)思想方法融為一體，如觀察、猜想、化歸、數(shù)形結(jié)合等，打破了思維定式，使學(xué)生的智能得到開發(fā)與拓展，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及探索知識(shí)的能力，使他們不僅學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)創(chuàng)造，最終學(xué)會(huì)生存。

（賓縣居仁中學(xué)）