用二元一次方程組巧解古代數(shù)學(xué)名題

馬三麗

學(xué)習(xí)二元一次方程組，能解決生活中不少實際問題，并能學(xué)到新的數(shù)學(xué)模型和消元轉(zhuǎn)化思想。而有關(guān)二元一次方程組的一些名題趣題，更是來源于生活。現(xiàn)將二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟歸納如下：

（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x、y）表示題目中的兩個未知數(shù)；（2）找出能夠表示應(yīng)用題全部含意的兩個相等關(guān)系；（3）根據(jù)兩個相等關(guān)系列出代數(shù)式，從而列出兩個方程并組成方程組；（4）解這個二元一次方程組，求出未知數(shù)的值；（5）檢查所得結(jié)果的正確性及合理性；（6）寫出答案。

人們運(yùn)用方程組解決含有多個未知數(shù)的問題已有很長的歷史，這個問題對于古代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要的促進(jìn)作用，現(xiàn)代高等代數(shù)中的許多內(nèi)容都起源于對線性方程組的研究。中國古代數(shù)學(xué)在方程及方程組方面也有許多成果，例如，著名的“雞兔同籠”問題就可以利用二元一次方程組解決多元問題，《九章算術(shù)》等古代數(shù)學(xué)著作中也記載了有關(guān)方程組的一些內(nèi)容，它們體現(xiàn)了人類對客觀世界中數(shù)量關(guān)系的不斷探究，從中可以看出人類追求真理的長期努力，折射出科學(xué)的源遠(yuǎn)流長。在教學(xué)中，除關(guān)注在數(shù)學(xué)知識和能力方面得到提高之外，還應(yīng)關(guān)注傳承數(shù)學(xué)文化方面的工作，結(jié)合二元一次方程組的內(nèi)容進(jìn)一步挖掘其文化內(nèi)涵，使學(xué)生再次受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與運(yùn)用滲透在整個初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，是克服題海戰(zhàn)術(shù)，取得優(yōu)異成績的有效策略。在列二元一次方程組解應(yīng)用題中，若能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來求解，將能起到事半功倍的效果。本文結(jié)合例題加以分析，希望對教學(xué)有所幫助。

大約在一千八百年前，我國著名的算術(shù)書——《孫子算經(jīng)》中有一道流傳久遠(yuǎn)的名題，原文是：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉、兔各幾何？”

分析：這是雞兔同籠問題，題中有兩個相等關(guān)系：一是雞的頭加上兔子的頭共35個，二是雞的腳加上兔子的腳共64個。設(shè)出雞和兔子的個數(shù)，根據(jù)相等關(guān)系列出方程即可解得。

解：設(shè)雞有x只，兔子有y只，根據(jù)題意，得

x+y=352x+4y=94 解得x=23y=12

答：雞有23只，兔子有12只。

《孫子算經(jīng)》中的另一道名題：“今有木，不知長短。引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問長木長多少尺？

解：設(shè)長木長x尺，引繩長y尺，根據(jù)題意，得

y-x=4.5x-y=1解得x=6.5y=11

答:長木長6.5尺。

世界著名的算術(shù)書《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思是：走路快的人走100步時，走路慢的人只走60步。走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？

分析：本題可以看做是一道行程問題，題中的相等關(guān)系是兩者走的步數(shù)相等。

解：設(shè)走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了y步，根據(jù)題意，得

x:y=100:60x=y+100解得x=250y=150

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人。

我國民間流傳的數(shù)學(xué)名題：

題1：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人，每人7兩少7兩，每人半斤多半斤，試問各位善算者，多少人分多少銀？（注：這里的斤是指市斤，1市斤=10兩）

解：設(shè)x個人分y兩銀子，根據(jù)題意，得

7x-y=7y-5x=5 解得x=6y=35

答：有6人分35兩銀子。

題2：一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一個，一人兩個少兩個，請問君子知道否，幾個老頭幾個梨？

解：設(shè)有x個老頭，y個梨，根據(jù)題意，得：

x=y-12x=y+2 解得x=3y=4

答：有3個老頭，4個梨。

另外：附解答應(yīng)用題心得。

（1）讀懂題意，把不相關(guān)的語言精簡掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考的不是數(shù)學(xué)，而是語文的閱讀能力。

（2）巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個更為簡便，要仔細(xì)斟酌。

（3）根據(jù)等量關(guān)系列出方程。

（4）解方程。此時可能會遇到兩個未知數(shù)，而只能列出一個方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗根。

（5）寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要占分?jǐn)?shù)的。

（6）勤加練習(xí)，熟能生巧。只有不斷練習(xí)，才能觸類旁通，舉一反三。

（通渭縣第二中學(xué)）