Markowitz投資組合模型最優權重的穩定性檢驗

張永正 李長青 孫振

【摘 要】 鑒于Markowitz投資組合模型與線性回歸模型之間的聯系，可以在線性回歸框架下解決投資組合問題，并作相關的統計與計量經濟學檢驗。Markowitz投資組合權重是最優的，但并不保證該證券在分散組合的非系統性風險方面顯著有效，線性回歸模型的顯著性檢驗告訴我們，只有最優組合權重通過了顯著性檢驗的證券才對分散組合的非系統性風險有明顯的貢獻。在實例中，首先用線性回歸的方法估計出最小方差點處的最優組合權重；其次通過顯著性檢驗，把不顯著的證券從組合中去掉，建立更加簡潔有效的投資組合，降低管理成本；最后，使用鄒氏預測檢驗對投資組合的動態性或最優組合權重的結構性變化進行檢驗，為投資組合的最佳調整時機選擇提供一種思路。

【關鍵詞】 投資組合模型； 線性回歸模型； 非系統風險； 穩定性檢驗

引 言

1952年，美國經濟學家、諾貝爾經濟學獎得主Harry Markowitz發表了《資產組合的選擇》，第一次以較嚴密的數理方法分析了人們為什么要構建資產組合以及如何建立有效的資產組合，為資產組合策略提供了理論基礎。

對于最優投資組合權重的估計方法，許多學者作了進一步研究。張立山、張曉紅用線性規劃單純形法解決證券投資組合的優化問題。萬中等人構造了外點罰函數，采用Frank-Wolf算法解決這一問題。但隨著證券種類以及數目的不斷增多，當線性規劃模型的決策變量數目增加時，增大了計算工作量，最優投資比例的確定變得非常困難。徐緒松、陳彥斌用模擬退火算法求解基于絕對離差的證券投資組合模型。楊利、李玉娟提出了一種改進的模擬退火算法，應用懲罰函數法將Markowitz投資組合模型轉化成無約束的優化問題，并對基本的模擬退火法的關鍵過程和參數進行了優化，解決了模擬退火法初始溫度和解的產生機制問題，達到了速度和精度的平衡，提高了算法的效率。由于理論最小迭代次數無法確定，存在著計算效率偏低的問題，仍需要進一步研究。

從Markowitz的投資組合模型開始，資產組合均值-方差有效性的問題對于投資實務具有重要意義，理論研究者在這方面做了大量檢驗工作。給定一個特定的投資組合，其組成部分或投資組合比例是已知的，傳統上，把檢驗資產組合的有效性問題轉化為檢驗資本資產定價模型的有效性。Gibbons（1982）首先在多元統計框架下檢驗資產組合的有效性。在存在無風險 資產的情況下 ， Gibbons、Ross &Shanken（1989）提供了有效檢驗方法解決了資產組合有效性精確檢驗的問題。在不存在無風險資產的情況下， Zhou（1991）應用特征值檢驗來檢驗資產組合有效性。Harvey & Zhou（1990） 使用貝葉斯推斷來檢驗投資組合的有效性。

目前有許多方法可以用來估計投資組合的最優權重，但這些方法大多非常復雜，如果能將投資組合問題轉化為線性回歸問題，借助技術上成熟的最小二乘法估計最優組合權重，計算量會大幅下降，且估計精度提高。已有的對投資組合的有效性檢驗主要是針對整個市場的，對于個別投資者則更關注自己所持有的組合是否有效或持有由哪些資產組成的組合更加有效，因為除了指數基金或大型投資基金能夠實現非系統風險的充分分散，對于大多數中小投資者是很難做到的。所以研究由少數股票組成的投資組合是否有效具有實際意義。投資組合的有效性主要在于是否能夠有效分散非系統性的風險，這取決于各組成證券在組合中的作用是否有效或顯著。另外，隨著經濟結構和企業經營的變化，人們的預期發生變化，投資組合也必須隨之做出調整，投資組合呈現出動態性或時效性特點，過去是最優的組合權重，現在未必是最優的，如果調整，需要支付一定的成本，且頻繁調整會造成投資效率的下降；不調整，或錯過了最佳調整時機，則可能無法適應市場的結構變化，形成投資損失，因此投資組合調整的時機選擇也是投資者關注的一個問題。

一、Markowitz投資組合模型與線性回歸模型

投資者是利益驅動和風險厭惡的，總是期望收益率越高越好，而方差（風險）越小越好，所以投資者主要關心投資的收益率和方差：

Markowitz投資組合模型以收益率的期望來衡量未來收益率的水平，以收益率的方差來衡量收益率的不確定性，證券組合的特征完全由期望收益率和收益率的方差來描述。其模型如下：

可得出（4）式的最優權重βj，j=1，2，…，K-1可以看作以rk-rp為被解釋變量，以rk-rj，j=1,2，…，K-1作為解釋變量的一個不含截距項的多元線性回歸模型（5）式的回歸系數的參數估計值。由于該回歸模型的設定比較特殊，要求第K只證券必須存在于組合中，為確保第K只證券進入組合，在實際中，可取證券收益率的樣本均值與標準差之比最大者作為第K只證券。

rik-rp=β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi（5）

對于最小方差點處的投資組合，相當于把rp看作一個需要估計的未知參數，此時可令截距項的β0=rp，得到含截距項的多元線性回歸模型

rik=β0+β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi （6）

其中，μi 為隨機誤差項，滿足回歸模型基本假設，是具有零均值、同方差、無序列相關且服從正態分布的隨機變量。

前面的推導過程闡述了Markowitz投資組合模型與多元線性回歸模型的等價關系。事實上，也可以這樣來理解Markowitz投資組合模型，即尋找一組最優的投資組合權重β1，β2，…，βk，使得該組合的收益率盡可能接近投資者的預期收益率，有如下表達式

rp=β1ri1+β2ri2+…+βkrik+μi

將約束條件βk=1-β1-β2-…-βk-1代入上式，整理后可得

rik-rp=β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi

這與（5）式相同，若假設rp未知，也可得到（6）式。

這樣，就把一個Markowitz投資組合問題轉化為一個簡單的多元線性回歸問題，在多元線性回歸框架下求解投資組合問題，并且可以對回歸模型的最優組合權重作統計檢驗。

二、實例

（一）樣本數據

為便于讀者對相關結果進行驗證，所以僅選用3只證券，20個樣本數據，樣本數據見表1，協方差矩陣見表2。在本例中，簡單地假設：投資者對各證券在未來持有期內的預期收益率和協方差矩陣與樣本期內的相同；當然，這種假設在實際中是不可取的，因為在實際中預期收益率和協方差矩陣需要投資者根據掌握的信息進行預測和判斷。

（二）有效前沿上的投資組合

在此僅對最小方差點處的投資組合進行分析。首先采用GAMS23.4軟件，利用樣本的均值和協方差信息建立Markowitz模型并求解，在最小方差點求解出最優組合權重，以及收益與風險，GAMS程序附在文章末尾，得到的結果與下面的最小二乘回歸結果完全相同。

接下來，選用均值與標準差之比最大的r3作為被解釋變量，以r3-r1、r3-r2作為解釋變量，用Eviews6.0軟件作含截距項的最小二乘回歸，得到參數估計結果如表3。

最小二乘回歸結果表明：在最小方差點處，第一只證券的最優權重-0.4538；第二只證券的權重0.7820；第三只證券的權重0.6718。該組合可以獲得rp=13.82%的期望收益，但要承擔 σp=0.04368的風險。第一、二只證券的權重都很顯著，對于第三只證券，在選擇被解釋變量時已經保證了它以非常大的可能性存在于組合中，但仍然可以做如下的受約束線性回歸假設檢驗：

H0：1-β1-β2=0

檢驗統計量為

其中，RSSU，RSSR分別表示無約束與受約束回歸下的殘差平方和，n表示樣本容量，KU，KR分別表示無約束與受約束回歸模型中的解釋變量個數。

線性約束的檢驗結果為F（1，17）=13.15，P值為0.0021，小于通常的顯著性水平0.05，所以第三只證券的權重β3顯著，對于分散投資組合的非系統風險具有顯著的貢獻。

接下來使用鄒氏預測檢驗（Chow Forecast Test） ，檢驗本期相對于前期，最優組合權重是否發生了顯著的結構性變化，如果檢驗顯著，則認為與前期相比，本期最優組合權重發生了顯著的結構變化，應當根據本期回歸結果調整每只證券在投資組合中的比例；否則，不做任何調整，仍保持原投資組合比例。具體檢驗過程如下：

第一步，對結構沒有發生變化時的情形作回歸分析，即前n-1個樣本作回歸，記殘差平方和為RSS1；第二步，對假設結構發生變化時的情形作回歸分析，即所有n個樣本作回歸，記殘差平方和為RSSR；第三步，計算F檢驗統計量值

其中，n為樣本容量，k為回歸方程中包含的解釋變量的個數。

第四步，計算大于F統計量的概率，即P值；第五步，檢驗結論，假如P值小于通常的顯著水平0.05，認為在第n期最優組合權重發生了顯著的結構性變化，應當根據第n期的回歸結果重新調整每只證券在最優組合中的比重。

在這個案例中，對最后一期，即第20個樣本點作鄒氏預測檢驗（Chow Forecast Test），由（7）式得F（1，16）= 0.372361，P值為0.5503，大于通常的顯著水平0.05，不顯著，所以認為在最后一期最優組合權重與前期相比沒有發生顯著的結構性變化，不需要重新調整每只證券在組合中的相對比重。

三、結論

首先，通過推導得出Markowitz投資組合模型與線性回歸模型之間存在等價關系，這使得可以用線性回歸方法求解最優組合權重；其次，盡管Markowitz模型的組合權重是最優的，但并不一定都能夠顯著分散組合的非系統性風險，根據線性回歸模型，只有最優權重通過了顯著性檢驗的證券，對于分散非系統風險才有顯著的貢獻，所以應把組合中權重不顯著的證券識別出來并從組合中剔除出去，建立更加精簡高效的組合；最后，投資組合隨著人們對未來預期的變化呈現出動態性或時效性，過去是最優的組合，現在未必是最優的，但不一定必須頻繁調整，在鄒氏預測檢驗下，只有當組合的最優權重發生了顯著的結構性變化，才需要進行必要的調整。

用線性回歸模型求解投資組合問題也存在一定的局限性，因為線性回歸模型主要依據各證券收益率的樣本數據，即歷史信息，而未來持有期內的預期收益率和協方差矩陣與樣本期內的可能存在差異。在這種情況下可以想到的一種解決思路是，首先根據投資者掌握的信息，對未來持有期內有可能選入組合中的各證券的預期收益率和協方差矩陣進行預測；其次，假定各證券未來收益率服從預測出的收益率和協方差矩陣這樣的多元正態分布，使用蒙特卡洛模擬法模擬出適當數量的各證券收益率數據；最后，以模擬數據為樣本，使用前面介紹的方法估計最優組合權重并進行相關統計檢驗。

附：Markowitz最優投資組合模型的GAMS程序

seti /r1， r2， r3 /；

alias （i，j）；

table cov（i，j）

r1 r2r3

r1 0.0225881610.0111422130.004828615

r2 0.0111422130.0063938210.002624485

r3 0.0048286150.0026244850.002747455；

parameter r（i） /r1-0.1544735

r2 0.045182

r30.0488175/；

variable b（i）；

variable rp，sigm2，sigm；

equation obj，eq1，eq2，eq3；

obj.. sigm2=e=sum（i，sum（j，b（i）*cov（i，j）*b（j）））；

eq1.. sum（i，b（i））=e=1；

eq2.. sum（i，r（i）*b（i））=e=rp；

eq3.. sigm=e=sigm2**0.5；

model mymod /all/；

*rp.fx=0.2；

solve mymod minimizing sigm2 using nlp；

【參考文獻】

［1］ Harry Markowitz. Portfolio Selection［J］. The Journal of Finance， 1952，7（l）:77-91.

［2］ 張立山，張曉紅.線性規劃在風險資產投資組合中的應用［J］.職業時空，2008（4）:36.

［3］ 萬中，孟福真，郝愛云，等.證券投資組合問題的新模型和算法［J］.湖南大學學報（自然科學版）， 2008，35（10）：85-88.

［4］ 徐緒松，陳彥斌.絕對離差證券組合投資模型及其模擬退火算法［J］.管理科學學報，2002，5（3）:79-85.

［5］ 楊利，李玉娟.基于改進模擬退火法的證券投資組合優化［J］.消費導刊，2007（7）：21-22.

［6］ Gibbons， M. R..Multivariate Tests of Financial Models: A new approach［J］.Journal of financial economics，1982（10）:3-27.

［7］ Gibbons， M. R.， S. A. Ross， and J. Shanken.A Test of the Efficiencyof a Given Portfolio［J］. Econometrica，1989（57）:1121-1152.

［8］ Guofu Zhou.Small Sample Tests of Portfolio Efficiency［J］.Journal of Financial Economics，1991（30）:165-191.

［9］ Harvey，C. R. and G. Zhou. Bayesian Inference in Asset Pricing Tests［J］. Journal of Financial Economics，1990（26）:221-254.