分形油藏徑向滲流問題解的相似結構

郭麗潔，李順初，盛翠翠

（西華大學應用數(shù)學研究所，四川 成都 610039）

分形油藏徑向滲流問題解的相似結構

郭麗潔，李順初，盛翠翠

（西華大學應用數(shù)學研究所，四川 成都 610039）

針對均質(zhì)分形油藏，考察了井筒儲集并引入有效井徑，在井底定產(chǎn)量生產(chǎn)的條件下，建立了均質(zhì)分形油藏考慮二次梯度影響的不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型。先對此模型作線性化處理，再作Laplace變換，得到了線性化后模型的Laplace空間精確解；并找出3種外邊界（無窮大、定壓、封閉）條件下解的相似結構，與數(shù)和圖形的相似性統(tǒng)一起來，使得不同邊界條件下解的表達式之間的關系更加清晰，找出了解式與滲流模型各參數(shù)之間的密切聯(lián)系，為編制相應的試井分析應用軟件提供了一個更便利的途徑。

相似結構；均質(zhì)分形油藏；二次梯度項；不穩(wěn)定；徑向流

隨著科學技術和生產(chǎn)的發(fā)展，很多領域出現(xiàn)了因存在二次梯度項而導致的非線性滲流問題。在油藏工程方面，二次梯度項的影響也逐漸得到重視。曹緒龍［1］建立了非線性徑向流動問題的無限大地層和有界地層滲流模型，分析了非線性壓力解與線性壓力解的差異，指出了在試井時間長時要考慮二次梯度項的影響。近年來，李順初、徐昌學等［2-7］針對一些未考慮二次梯度項的各類油藏模型，歸納出了可以表示儲層壓力與井底壓力的通用公式，即相似結構，并在這些文章中對相似結構的應用作了深入的討論［6-9］，說明了相似結構非常便于試井分析應用軟件的編制。

文中研究的油藏模型考慮了二次梯度項，并在引入有效井徑和考慮井筒儲集的情況下，建立均質(zhì)分形油藏模型，找出了定解問題在3種外邊界條件下解式的相似結構，進一步分析了相似結構和核函數(shù)與滲流定解問題中各參數(shù)間關系，使得只能在實空間內(nèi)進行的試井分析推廣到能夠在Laplace空間內(nèi)順利進行。

1 非線性滲流模型的建立

考慮井筒儲集并引入有效井徑的平面徑向分形滲流網(wǎng)絡，假設：

1）分形維數(shù)為df的分形滲流網(wǎng)絡嵌入到二維歐幾里得巖塊中；

2）產(chǎn)層厚度均質(zhì)且全部打開，流體徑向流入井內(nèi)；

3）開井前，油藏中各處壓力為原始地層壓力po，開井后以定產(chǎn)量q生產(chǎn)；

4）流體微可壓縮且服從等溫達西定律；

5）忽略重力和毛細管壓力的影響。

根據(jù)以上假設，可建立如下滲流數(shù)學模型。

2 模型求解

對微分方程（1）作如下變量替換，令：

為了保持初始條件和邊界條件的齊次性，可令c1=1，c2=0，即

這樣，滲流定解問題方程（1）—（5）可化為如下線性形式：

對滲流問題（6）關于tD作Laplace變換得

通過對3種不同的外邊界條件下的滲流模型的分析，知道滲流模型線性化后的Laplace空間解在不同的邊界條件下可得出相同的表達形式為

3種邊界條件中分別對應的相似核函數(shù)：

由式（11）可知，線性化后的無因次井底壓力的Laplace空間解為

4 結論

1）對所求得的線性化后模型的Laplace空間解，可通過解析反演求得相應的實空間的解析解，從而求得儲層壓力和井底壓力分布的解析解。

3）文中的相似結構，從方程本身來看，可以很清晰的描述解式與滲流定解問題各參數(shù)之間的關系。顯然，這個統(tǒng)一的表達式只與內(nèi)邊界條件和方程（7）的通解有關；而相似核函數(shù)也只能由方程（7）的通解和外邊界條件來決定。

5 符號注釋

p為儲層中任一點處的壓力，MPa；pw為井壁（底）處的壓力，MPa；po為原始地層壓力，MPa；t為時間，h；r為儲層中任一點距井口的距離，m；rw為井筒半徑，m；Re為外邊界（圓形外邊界）半徑，m；h為流體的儲層厚度，m；Q為井底產(chǎn)量，cm3/h；μ為流體黏度，mPa·s；m為流體質(zhì)量，kg；S為表皮因子（井底污染系數(shù)）；C為井筒儲存系數(shù)，m3／MPa；B為流體體積系數(shù)；df為分形維數(shù)；ds為譜維數(shù)；θ為反常擴散指數(shù)；Cf為流體壓縮率；Vs為座點孔隙體積，m3；z為Laplace變量。下標：D為無因次；w為井底。

［1］曹緒龍，同登科，王瑞和.考慮二次梯度項影響的非線性不穩(wěn)定滲流問題的精確解［J］.應用數(shù)學和力學，2004，25（1）：93-99. Cao Xulong，Tong Dengke，Wang Ruihe.Exact solutions for nonlinear transient flow model including a quadratic gradientterm［J］. Applied Mathematics and Mechanics，2004，25（1）：93-99.

［2］李順初，伊良忠，鄭鵬社.微分方程定解問題解的相似結構［J］.四川大學學報：自然科學版，2006，43（4）：933-934. Li Shunchu，Yi Liangzhong，Zheng Pengshe.The similar structure of differential equation on fixed solution problem［J］.Journal of Sichuan University：Natural Science Edition，2006，43（4）：933-934.

［3］李順初.復合油藏壓力分布研究［J］.斷塊油氣田，2001，8（6）：29-31. Li Shunchu.Research of composition reservoir pressure distribution［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2001，8（6）：29-31.

［4］李順初，鄭鵬社，張宇飛.復合油藏試井分析解的相似結構［J］.數(shù)學的實踐與認識，2008，38（3）：23-28. Li Shunchu，Zheng Pengshe，Zhang Yufei.The similar structure of pressure distribution in the composite reservoir［J］.Mathematics in Practice and Theory，2008，38（3）：23-28.

［5］李全勇，李順初，李偉，等.基于解相似結構的復合油藏滲流模型研究［J］.斷塊油氣田，2011，18（5）：623-625，633. LiQuanyong，LiShunchu，LiWei，etal.Study on percolation model of composite media reservoir based on similar structure of solution［J］.Fault-Block Oil& Gas Field，2011，18（5）：623-625，633.

［6］徐軒，楊正明，祖立凱，等.多重介質(zhì)儲層滲流的等效連續(xù)介質(zhì)模型及數(shù)值模擬［J］.斷塊油氣田，2010，17（6）：733-737. Xu Xuan，Yang Zhengming，Zu Likai，et al.Equivalent continuous medium model and numerical simulation of multimedia reservoir［J］. Fault-Block Oil&Gas Field，2010，17（6）：733-737.

［7］同登科，陳欽雷，廖新維.非線性滲流力學［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2003：4-5. Tong Dengke，Chen Qinlei，Liao Xinwei.Nonlinear flow mechanics［M］.BeiJing：Petroleum Industry Press，2003：4-5.

（編輯 劉麗）

Similar structure of solutions for radial flow of fractal reservoir

Guo Lijie,Li Shunchu,Sheng Cuicui
(Institute of Applied Mathematics,Xihua University,Chengdu 610039,China)

To the homogeneous fractal reservoir,the wellbore storage is examined and the effective well radius is introduced.An instability flow mathematical model is established in the case of the fixed production at well bottom.The model considers the impact of the quadratic gradient in homogeneous fractal reservoir.The model is processed linearly,further for Laplace transform,obtaining the exact solutions of linearized model in Laplace space.The similar structure of the solutions in the three kinds of outer boundary conditions(infinite boundary,constant pressure outer boundary and closed boundary)is found out,making the relationship between the expressions of the solution clearer.The close relationships between the solutions and model parameters are also found out,which can provide a more convenient way for programming the application software for well test analysis.

similar structure;homogeneous fractal reservoir;quadratic gradient term;instability;radial flow

西華大學重點學科“應用數(shù)學”（XZD0910-09-1）

TE312

：A

1005-8907（2012）01-0114-03

2011-04-06；改回日期：2011-12-07。

郭麗潔，女，1984年生，在讀碩士研究生，主要從事微分方程及其應用和滲流力學方面的研究。E-mail：guolijie138646 @163.com。

郭麗潔，李順初，盛翠翠.分形油藏徑向滲流問題解的相似結構［J］.斷塊油氣田，2012，19（1）：114-116. Guo Lijie，Li Shunchu，Sheng Cuicui.Similar structure of solutions for radial flow of fractal reservoir［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2012，19（1）：114-116.