基于預測控制的車輛穩定性研究*

姚 俊 陳家琪

（上海理工大學）

1 前言

電子穩定系統（ESP）可通過傳感器得知車輛的抱死情況、車輛橫擺慣量，在車輛出現失控趨勢時，對特定車輪給予額外的制動力，甚至通過調整車輛的牽引力，力求以最大程度保持住車輪的附著力。隨著控制理論的發展，將先進的控制技術運用于ESP控制系統已經成為車輛控制發展的趨勢[1～3]。目前，主要的控制方法有PID控制和門限自調整控制，這兩種方法都具有計算簡單、速度快的特點，可以充分滿足ESP系統對實時性要求高的特點。但兩種方法都是對車輛模型高度依賴并且控制器本身沒有自學習功能，這使得這些ESP控制器的魯棒性差，容易受外界因素影響。

預測控制具有實現簡單、對車輛模型要求低以及自適應性和快速性強的特點，因此，本文將預測控制技術應用于ESP直接橫擺力矩控制系統中，并以車輛橫擺速度和質心側偏角為內模狀態變量，以直接橫擺力矩為輸出，通過制動系統直接將輸出力矩合理分配到每一車輪上，從而調整車輛的橫擺狀態。

2 整車模型

2.1 7自由度整車動力學模型

根據車輛動力學特點，對整車模型提出了以下理論假設和簡化[4]：

a. 汽車上的動坐標系原點與整車質心重合；

b. 忽略懸架的作用；

c. 汽車繞Y軸轉動的俯仰角及繞X軸轉動的側傾角為0；

d. 各輪胎的機械特性相同。

在假設基礎上建立車輛7自由度動力學模型如圖1所示，7自由度分別為車身橫向、縱向、橫擺及4個車輪的旋轉。

縱向動力學方程:

橫向動力學方程：

橫擺運動方程：

各車輪轉動方程：

式中，M為汽車質量；vx為車輛縱向速度；vy為車輛橫向速度；γ為車輛橫擺速度；I為車輛轉動慣量；θ為前輪轉向角；a、b分別為質心到前、后軸的距離；c、d 分別為前、 后輪的輪距；Fxii、Fyii、wii、kii為車輪縱向力、橫向力、滾動角速度和附加橫擺力矩的分配系數，ii=fl，fr，rl，rr；Iw為車輪轉動慣量；R 為車輪半徑；Tr為控制器輸出的直接橫擺力矩。

2.2 輪胎模型

采用“魔術公式”來描述輪胎縱向力、側向力和滑移率、車輪側偏角的關系[5，6]。

當計算輪胎縱向力時，計入路面附著系數μ的影響，汽車輪胎縱向力Fx與滑移率λ和車輪垂直載荷反向力Fz之間的關系由“魔術公式”表達為：

同理，當計算輪胎側向力時，汽車輪胎縱向力Fy與輪胎側偏角α和車輪垂直載荷反向力Fz之間的關系由“魔術公式”表達為：

以上計算側、 縱向力的過程中，a0～a10、b0～b13為魔術公式回歸系數[7]，λ、Fz和 α 數值可由式（7）～式（9）計算出。

各車輪的滑移率：

各車輪垂直載荷：

式中，h為車輛質心高度。

各車輪側偏角：

3 控制算法設計

預測控制系統結構如圖2所示。

3.1 控制系統參考軌跡

2自由度線性單軌模型可以反映駕駛員轉向輸入與車輛橫擺角速度γ、質心側偏角β之間的線性關系，因此可以將其穩態轉向特性作為車輛穩定性的理想狀態。

2自由度線性模型[8]為：

由式（10）可進一步得式（11）：

式中，k1、k2分別為車輛前輪與后輪的側偏剛度；Fyf、Fyr分別為車輛前輪與后輪側向力。

當車輛進入穩態時，γ 為定值，此時v˙y=0，γ˙=0，將其代入（11）得名義橫擺角速度γd、名義質心側偏角βd：

式中，L為前、后軸距之和。

3.2 控制系統預測模型及最優控制力矩

根據式（10），將車輛直接橫擺力矩Tr加入2自由度車輛模型可得：

取狀態變量 x=[β，γ]，u=[Tr]，并由式（11）可得控制系統連續空間預測模型：

式（13）中前輪轉向角輸入θ在計算時可以是一組固定的離散向量，而u則是真正需要計算的最優解。所以為計算方便，在實際的算法中可將θ看成已知固定的干擾量加進預測模型中。

去掉θ輸入項并將式（13）離散化可得線性時不變系統：

其中，x（k）=[β（k），γ（k）]，u（k）=[Tr（k）]

由式（13）可以推出以P為預測步長的輸出為：

式中，yp0（k）為預測前一步的輸入通過預測模型產生的輸出；Δum（k）為每一步預測控制輸出對前一步的增量，共有m步預測控制輸出。

考慮性能指標：

式中，wp=[w（k+1），…，w（k+P）]T為預測控制系統的參考軌跡，亦即2自由度名義參考軌跡；Q=diag（q1，…，qp）為預測輸出的權系數；R=dian（r1，…，ru）為預測控制的權系數。

將式（15）代入式（16），可得：

在 k 時刻，wp（k）、yp0（k）均為已知，若使 J（k）對 Δuu（k）取極小值，可通過極值必要條件 dJ（k）/dΔuu（k）=0求得：

而 um（k）=um（k-1）+Δum（k）為直接作用于車輪的直接橫擺力矩。

4 仿真分析

根據所建立的車輛模型和控制算法，采用Matlab/Simulink軟件進行了仿真分析。選取車輛參數：M=2 200 kg，I=4000 kg·m2，a=1.6 m，b=2 m，k1=k2=40 kN/rad，c=d=1.7 m，Iw=1.1 kg·m2，R=0.318 m，h=0.55 m。在Simulink中建立的控制結構如圖3所示。

車輛速度為90 km/h時轉向角階躍輸入曲線如圖4所示。轉向角階躍輸入下的車輛橫擺角速度響應曲線如圖5所示。從圖5可以看出，預測控制器能很好地將車輛橫擺角速度控制在理論值附近。

圖6顯示了車輛在階躍輸入下質心側偏角的變化。從圖6中可以看出，由于階躍角度很大，沒有ESP控制器的車輛質心側偏角將超出控制范圍，而有ESP的車輛能將側偏角基本控制在2°以內。

車輛速度為70 km/h時轉向角正弦輸入曲線如圖7所示。從圖7中可以看出，曲線峰值為168°，周期為2s。正弦輸入是測試車輛緊急變換車道的一種仿真，圖8為車輛變換車道的側向位移。從圖8中可以看出，有ESP控制器的車輛側向位移固定在8 m左右，表明車輛能很好地應對突發車道轉換事件；而未安裝ESP控制器的車輛由于車速過快，在突然轉向之后完全失控，隨著時間的推移遠離既定車道。

圖9～圖11顯示裝配了預測控制器的車輛在突發情況下橫擺加速度和質心側偏角響應良好的穩定性，也驗證了ESP控制器在車輛緊急換道工況下的良好控制作用。

1 Chen B C，et al.Differential Braking Based Rollover Prevention for Sport Utility Vehicles with Human－in－theloop Evaluations.Vehicle System Dynamics，November 2001， Vol 36， 359～389.

2 Best M C，et al.Real－Time State Estimation of Vehicle Handling Dynamics Using an Adaptive Kalman Filter.International Symposium on Advanced vehicle Control－AVEC， 1998，No.9836590.

3 Kou Y， et al.Wotst－case evaluation for integrated chassis control systems.Taylor&Francis，2008.

4 歐建，房占鵬.汽車ESP系統模型和模糊控制仿真.重慶郵電大學學報（自然科學版）， 2010，22（4）:516～520.

5 Wang H Y，et al.Modeling and Simulation of Electric Stability Program for the Passenger Car，SAE Paper 2004.

6 Yu F，et al.The System Dynamics of the Vehicle.Beijing:Mechanical Industry Press，2005.9.

7 馬春卉，吳志林，王良模，李松焱.汽車ESP系統的建模和控制方法.南京理工大學學報（自然科學版），2010，34（1）： 108～112.

8 郭建華，初亮，劉明輝.汽車ESP模糊自適應控制.汽車技術，2009（3）：18～22.