多項式擬合技術在天線增益測量中的應用研究

摘" 要： 文中簡述了多項式擬合的基本原理公式，提出利用多項式擬合技術確定天線增益頻段特性和大型口徑天線不同仰角增益的方法。在比較法增益測量中，標準喇叭的增益常為已知的離散校準值，利用高頻、低頻和兩個中間頻點的增益值擬合了標準喇叭增益的解析式，非擬合點的增益計算結果同已知的標準喇叭增益校準值吻合很好，證明了該方法的有效性。最后，簡述了多項式擬合技術在S波段8.54 m氣象雷達天線增益測量及大型射電望遠鏡天線不同仰角增益測量中的應用。

關鍵詞： 多項式擬合技術； 增益測量； 增益頻段特性； 射電望遠鏡增益測量； 口徑天線； 氣象雷達天線增益測量

中圖分類號： TN820?34" " " " " " " " " " " " " " " 文獻標識碼： A" " " " " " " " " " "文章編號： 1004?373X（2024）11?0022?04

Applications of polynomial fitting technique in antenna gain measurement

SHI Lei， ZHANG Ji， QIN Shunyou

（The Fifty Fourth Research Institute of CETC， Shijiazhuang 050081， China）

Abstract： In this paper， basic principle formula of polynomial fitting is described briefly. The polynomial fitting technique is used to determine the frequency band characteristics of antenna gain and the gain at different elevation angles of large aperture antenna. In the comparative method of antenna gain measurement， the gain of the standard horn is usually known for discrete calibration values， and the analytical formula of standard horn gain are fitted with gains of high frequency， low frequency and two middle frequency points. The gain calculation results of non?fitting frequency points are agree well with known calibration values of standard horn gain， which verifies the validity of the proposed method. At last， the application of polynomial fitting technique in antenna gain measurement of S?band 8.54?meter weather radar and antenna gain measurement of large radio telescope at different elevation angles is described briefly.

Keywords： polynomial fitting technique; gain measurement; gain frequency band property; radio telescope gain measurement; aperture antenna; weather radar antenna gain measurement

收稿日期：2023?12?29" " " " " "修回日期：2024?01?22

基金項目：國家科技部重點研發計劃項目（2018YFE0207500）

0" 引" 言

天線增益是衡量天線輻射能量的集中程度，它定義為在天線輸入功率相同時，天線的輻射強度與理想點源輻射強度之比。增益是天線的重要性能參數之一，精確測量天線增益是非常重要的。目前天線增益測量常用的方法有：三天線法、兩相同天線法、比較法、射電天文法、方向圖積分法和波束寬度法等[1?5]。這些增益測量方法通常均是確定天線在某一方向上某一頻點的增益，而在天線實際工程應用中，常需要知道天線工作頻段內任意頻率點的增益，如標準增益喇叭和測控地面站天線等；又如在大口徑射電望遠鏡系統中，確定天線任意仰角的增益亦是非常重要的。采用傳統的增益測量方法確定天線頻段內任意頻率的增益或大口徑天線任意仰角的增益，是非常復雜和費時的，甚至是不可能的。本文提出了用多項式擬合技術確定天線增益的頻段特性和不同仰角增益的簡單方法，并給出了工程測量實例。實踐證明，該方法不僅簡單、方便，而且精度高，對于實際天線工程測量具有重要的參考應用價值。

1" 多項式擬合的基本公式

多項式擬合函數的一般表達式為[6?7]：

[f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn] （1）

式中：[f（x）]為擬合函數；[x]為變量；[a0]，[a1]，[a2]，…，[an]為常數，[n]為整數（[n]=0，1，2，…，[n]），[n]的取值取決于多項式所要求逼近精度，當測量[n+1]個點，由式（1）得出[n+1]個未知量的線性方程組，聯立方程組就可確定常數[a0]，[a1]，[a2]，…，[an]的大小。在天線增益工程測量中，為了確定天線增益的頻段特性，一般采用2次或3次多項式擬合，即可滿足工程測量的精度要求（當然，對于寬帶和超寬帶天線，為了提高多項式擬合精度，[n]可取得大些）。如在天線增益測量中，3次擬合表示的增益頻率函數為：

[G（f）=a0+a1f+a2f2+a3f3] （2）

式中：[G（f）]表示天線增益，單位為dBi；[f]為工作頻率，單位為GHz。由實際測量的4個頻點增益（通常包括高頻、低頻和中間兩個頻率點），可得到4個獨立的線性方程組為：

[G（f0）=a0+a1f0+a2f20+a3f30] （3）

[G（f1）=a0+a1f1+a2f21+a3f31] （4）

[G（f2）=a0+a1f2+a2f22+a3f32] （5）

[G（f3）=a0+a1f3+a2f23+a3f33] （6）

聯立式（3）～式（6），可確定常數項[a0]、[a1]、[a2]和[a3]的大小，即：

[a0=Δ0Δ，" a1=Δ1Δ，" a2=Δ2Δ，" a3=Δ3Δ] （7）

式中：

[Δ=1f0f20f301f1f21f311f2f22f321f3f23f33Δ0=G（f0）f0f20f30G（f1）f1f21f31G（f2）f2f22f32G（f3）f3f23f33Δ1=1G（f0）f20f301G（f1）f21f311G（f2）f22f321G（f3）f23f33Δ2=1f0G（f0）f301f1G（f1）f311f2G（f2）f321f3G（f3）f33Δ3=1f0f20G（f0）1f1f21G（f1）1f2f22G（f2）1f3f23G（f3）]

將所求的系數[a0]、[a1]、[a2]和[a3]代入式（2），即得到天線增益與頻率多項式擬合的解析式，只要給定頻率，很容易計算天線增益的大小，從而確定天線增益的頻段特性。對于天線不同仰角的增益，把多項式函數中的頻率變量換成天線仰角變量，同樣可采用2次或3次多項式擬合技術，確定天線增益隨仰角的變化特性。

2" 多項式擬合的應用

2.1" 標準喇叭增益計算與分析

比較法是天線增益測量的經典方法[8?10]，其基本思想是用待測天線增益同標準天線增益進行比較，從而確定待測天線增益的方法。標準天線增益是已知的，常給出的是校準離散值，或是離散增益繪制的曲線，而實際工程測量中，常常需要測量待測天線任意頻點增益或增益的頻段特性，這樣需要精確知道標準天線在工作頻段內任意頻率點的增益。由給定標準天線增益離散值，利用多項式擬合技術確定增益與頻率擬合解析式，就可以計算標準天線任意頻率的標準增益，以便于實際工程應用。

這里以美國科學亞特蘭大公司（簡稱SA公司）的標準增益喇叭為例，說明多項式擬合技術在確定標準喇叭增益頻段特性中的應用。SA12?1.1型標準增益喇叭離散增益值如表1所示。

本文選擇擬合頻率點為1.10 GHz、1.30 GHz、1.55 GHz和1.70 GHz，則用多項式擬合技術確定的標準增益喇叭的增益頻率函數為：

[G（f）=5.599 515+8.978 444f-0.217 402 4f2-0.648 194 3f3] （8）

式（8）即為SA12?1.1型標準增益喇叭的增益多項式擬合的解析式，由此公式計算的非擬合頻率點與給定的標準增益結果比較如表2所示。

由表2分析結果表明：利用多項式擬合的增益與標準增益吻合很好，其擬合精度很高，完全滿足工程測試的需要，從而說明用多項式擬合技術確定天線增益頻段特性的有效性。

2.2" S波段氣象雷達天線增益測量

這里以S波段8.54 m氣象雷達天線增益測量為例，說明多項式擬合技術在確定天線增益頻段特性中的應用。安裝在天線測試轉臺上的S波段8.54 m天氣雷達天線如圖1所示。

該天線為前饋拋物面天線，天線口徑為8.54 m，工作頻段為2.7～3.0 GHz，增益要求[G]≥44.5 dBi（2.7 GHz）。 目前該天線已形成批量生產，不同站點其工作頻率不同，因此需要測量天線的頻段特性。利用實測方向圖，通過數值積分法計算天線方向性增益，然后扣除各種增益損失，即得天線功率增益的大小。方向圖積分法測量天線增益的原理公式為[11?12]：

[G=10×lg4-θmθmP（θ）sinθdθ-δsector-δspillover-δcross-δmismatch-δfeed] （9）

式中：[δsector] 為實測方向圖有限區域引起的增益損失；[δspillover]為天線漏失引起的增益損失；[δcross]為天線軸向交叉極化引起的增益損失；[δmismatch]為天線失配引起的增益損失；[δfeed]為天線波導饋線和饋源網絡總插入損耗引起的增益損失。

本文選擇測試頻率為2.7 GHz、2.8 GHz、2.9 GHz和3.0 GHz四個頻率點，其增益測量結果分別為44.61 dBi、45.05 dBi、45.30 dBi和45.63 dBi。由此擬合S波段氣象雷達天線增益頻率特性為：

[G（f）=-1 025.677+1 114.607f-387.506 2f2+45.000 32f3] （10）

式（10）就是S波段8.54 m天氣雷達天線增益多項式的擬合公式，只要給定天線的工作頻率，就很容易計算天線的增益。圖2給出了S波段8.54 m天氣雷達天線增益頻段特性。在工作頻段內，只要給定天線的工作頻率，就可確定天線的增益。

2.3" 射電望遠鏡天線不同仰角的增益測量

增益是大型射電望遠鏡天線的重要參數之一，它直接影響望遠鏡接收微弱信號的能力[13]。由于受望遠鏡重力變形的影響，大型射電望遠鏡在不同仰角的天線增益是不同的[14]。

大型射電望遠鏡天線增益常用射電源法進行測量。射電源法測量天線增益的原理是：通過測量射電望遠鏡天線指向射電源及其附近冷空氣的噪聲功率之比[Y]因子，利用式（11）計算射電望遠鏡天線增益[15?16]。

[G=8πk（Y-1）Tsysλ2SK1K2] （11）

式中：[k]為波爾茲曼常數，[k=1.38×10-23] J/K；[Tsys]為射電望遠鏡的系統噪聲溫度；[λ]為工作波長；[S]為射電源的流量密度；[K1]為大氣吸收衰減因子；[K2]為波束展寬修正因子。

測量天線增益常用的標準離散射電源有：仙后座A（CasA）、金牛座A（TauA）、天鵝座A（CygA）和室女座（VirA）等 。由于射電源在不同時刻的運行軌道是不一樣的，因此可測量出不同仰角的天線性能。實際工程測量中，通常測量出高、中、低仰角的增益，運用多項式擬合的方法求出任意仰角的天線增益。不同仰角的天線增益常采用2次多項式擬合，其擬合方程為：

[G（EL）=G0+G1EL+G2EL2] （12）

式中EL為天線仰角。

這里以65 m射電望遠鏡X波段增益測量為例，說明多項式擬合技術在大型射電源望遠鏡天線不同仰角增益測量中的應用。

圖3為65 m射電望遠鏡天線，該望遠鏡是目前國內最大的實面可跟蹤望遠鏡[15]。

在X波段頻率為9 GHz，用天鵝座A（CygA）測量的65 m射電望遠鏡天線增益如表3所示。

結合表3天線增益測量結果，用多項式擬合的方法，求得65 m射電望遠鏡X波段不同仰角的增益曲線為：

[G（EL）=72.479 34+0.064 58EL-0.000 79EL2] （13）

例如當仰角為30°，由式（13）可計算出射電望遠鏡天線的增益為73.71 dBi。

3" 結" 語

多項式擬合技術的應用十分廣泛。本文提出了利用多項式擬合技術確定天線增益頻段特性和大型口徑天線不同仰角增益的方法。通過測量天線頻段上下限和中間任意兩點頻率的增益，用多項式3次擬合技術即可確定天線整個頻段的增益特性，由此可計算天線任意頻率點的增益；通過測量大型口徑天線高中低仰角的增益，用2次多項式擬合技術可確定天線任意仰角的增益。實踐證明：該方法是切實可行的，在天線增益測量中值得推廣和應用。

參考文獻

[1] PARINI C， GREGSON S， MCCORMICK J， et al. Theory and practice of modern antenna range measurements [M]. London： British Institute of Engineering Technology， 2014： 63?90.

[2] 秦順友，許德森.衛星通信地面站天線工程測量技術[M].北京：人民郵電出版社，2006.

[3] 秦順友，楊可忠，陳輝.不同極化天線增益測量技術[J].電子測量與儀器學報，2003，7（1）：7?11.

[4] 王新，趙思亮，漆洋，等.基于天氣雷達的太陽法方位波束寬度改進算法[J].成都信息工程大學學報，2023，38（2）：154?159.

[5] 袁惠云，彭云樓，薛吟章.天線參數的射電天文測量[J].南京大學學報（自然科學版），1980（4）：90.

[6] 李勝先，傅君眉，吳須大.多項式逼近技術在微波雙工器設計中的應用[J].空間電子技術，2006（3）：16?19.

[7] 胡寧杰.多項式擬合在實際應用中的優勢[J].中國水運（下半月），2008，8（12）：119.

[8] DALY P， TITS D. Novel technique for antenna gain measurement in satellite earth stations [J]. Electronics letters， 1982， 18（25）： 1089?1090.

[9] 毛乃宏，俱新德.天線測量手冊[M].北京：國防工業出版社，1987.

[10] VAN DEN BIGGELAAR A J， GELUK S J， JAMROZ B F， et al. Accurate gain measurement technique for limited antenna separations [J]. IEEE transactions on antennas and propagation， 2021， 69（10）： 6772?6782.

[11] 杜曉恒，秦順友，任冀南，等.低副瓣氣象雷達天線增益測量及誤差分析[J].無線電通信技術，2014，40（5）：51?53.

[12] INTELSAT. Earth station verification tests： SSOG 210 [S]. Washington， USA： Intelsat Global Service Corporation， 2002.

[13] 杜彪，伍洋，張一凡，等.大口徑反射面天線技術綜述[J].無線電通信技術，2016，42（1）：1?8.

[14] 王從思，劉鑫，王偉，等.大型反射面天線溫度分布規律及變形影響分析[J].宇航學報，2013，34（11）：1523?1528.

[15] STELZRIED C T， KLEIN M L. Precision DSN radiometer systems： Impact on microwave calibrations [J]. Proceedings of the IEEE， 1994， 82（5）： 776?786.

[16] MORABITO D D. The characterization of a 34?meter beam?waveguide antenna at Ka band （32.0 GHz） and X band （8.4 GHz） [J]. IEEE antenna and propagation magazine， 1999， 41（4）： 23?34.

[17] 王錦清，虞林峰，趙融冰，等.TM 65 m射電望遠鏡低頻段系統噪聲溫度測試和分析[J].天文學報，2015，56（1）：63?76.

作者簡介：石" 磊（1982—），男，遼寧朝陽人，碩士，高級工程師，研究方向為通信導航檢測認證測試技術。

張" 冀（1982—），男，河北邯鄲人，高級工程師，研究方向為衛星通信地面站天線工程技術。

秦順友（1964—），男，河南光山人，研究員，碩士生導師，研究方向為微波與天線測量技術。