幾種圖像縮放算法的研究

摘 要：時域內常用的幾種圖像縮放算法有：最近鄰插值、線性插值、二次插值、三次插值、拉格朗日插值、高斯插值等，對這些算法的性能進行分析比較，綜合通帶、阻帶及截止頻率，最近鄰插值和線性插值應該避免，高斯基函數(N較大者)具有較好性能；并且在頻域內研究了二維可分離插值濾波器和不可分離插值濾波器，這兩種方法以對通帶和阻帶的要求作為優化目標，以濾波器的結構為約束條件，將濾波器的設計轉化為一個約束優化問題進行解決；實驗結果表明二維不可分離插值濾波器的方法圖像縮放后的效果最好。

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關鍵詞：插值濾波器; 圖像尺度變換; 變量分離; 采樣率轉換

中圖分類號：

TN911.7334； TP391

文獻標識碼：A

文章編號：1004373X(2012)05

0048

04

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Research on image scaling algorithm

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LI Xiuying1， YUAN Hong1

(1.Dept. of Mathematic Physics， Shanghai University of Electric Power， Shanghai 200090， China； 

2.Dept. of Mathematics， Linyi Normal University， Linyi 276005， China)

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Abstract：

There are several kinds of image scaling methods in time domain: nearest neighbor interpolation， linear interpolation， quadratic interpolation， cubic interpolation， Lagrange interpolation， Gaussian interpolation， etc. The performance of these methods are compared according to passband， stopband and cutoff frequency. The result shows that the nearest interpolation and the linear interpolation should be avoided， and Gaussian basis function whose N value is larger has better performance. The 2D nonseparable interpolation filter and 2D separable interpolation filter are studied. With the requirements of passband and stopband as optimizing target， and the structure of filter as constraint condition， the filter design for them is converted into an optimization problem. The experiment result shows that the 2D nonseparable interpolation filter has better performance.

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Keywords： interpolation filter; image scaling; separating variable; sampling rate conversion

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收稿日期：20111108

基金項目：上海市科委項目(071605123);上海優秀青年基金(B01691)

0 引 言

在實際應用中，經常需要對數字圖像進行尺度轉換，在改變圖像尺寸方面，文獻［18］提出了通過三次樣條插值、三次卷積插值、二維快速傅立葉變換進行圖像尺寸轉換的方法；這些算法比較簡單，性能受到了明顯的限制。

圍繞圖像縮放技術，本文對時域內各種算法的性能進行分析比較，并且在頻域內研究了二維可分離插值濾波器和不可分離插值濾波器，這兩種方法都是將對通帶和阻帶的要求作為優化的目標，以濾波器的結構為約束條件，將濾波器的設計轉化為一個約束優化問題進行解決。

1 時域縮放算法

1.1 最近鄰插值

最近鄰插值，是用圖像中的特定點的像素值填充縮放后的圖像，即將原始的信號進行逐點處理，把其中的每一點都用其灰度值進行m次復制(m為縮放倍數)，即輸出像素的灰度值等于離它所映射到的位置最近的輸入像素的灰度值。最鄰近插值計算十分簡單，在許多情況下，其結果也可令人接受。然而，當圖像中包含像素之間灰度級有變化的細微結構時，最鄰近插值法會在圖像中產生人工的痕跡，出現明顯的塊狀現象，整幅圖像十分粗糙。

1.2 雙線性插值

線性插值算法由于其較低的計算量和高于最近鄰域插值的代數逆合(二階)而被廣泛應用。因為采用線性插值算法在對圖像的放大是對行列信號作兩次處理后得到的，所以稱這種方法為雙線性插值。但是，它通常會平滑掉圖像中許多重要的高頻信息。

雙線性插值比最鄰近域法產生的圖像平滑，但當放大倍數增大時，放大后的圖像會出現明顯的塊狀現象。線性插值基本思想就是把目標點附近的原始點的灰度值按一定的權值相加。

1.3 二次插值

二次插值采用對稱二次多項式：



Quadh3(x)=－2ax2+1/2(a+1)，

0≤x<1/2

ax2－(2a+1/2)x+3/4(a+1)，

1/2≤x<3/2

0，其他

(1)



1.4 三次插值

三次插值也稱三次卷積插值，高精度三次樣條插值或者雙三次插值［1014］，它是sin x/x的一個近似。其表達式為：



φa(t)=(a+2)t3－(a+3)t2+1，t<1

at3－5at2+8a|t|－4a，1≤t<2

0，2≤t

(2)



式中a為正則化參數。

1.5 三次B樣條插值

三次B樣條曲線是由多條三次多項式曲線拼接而成，整條曲線二階連續可導。對于三次B樣條曲線，設其控制點為P0，P1，…，Pn。第i段曲線可以用矩陣形式表示為：

在圖像放大時，需要由圖像上的點反算出B樣條控制頂點，這就是B樣條曲線的逆問題。討論三次B樣條，從每一小段三次B樣條曲線的端點與控制頂點的關系：

求出控制點P0，P1，…，Pn以后，將其代入式(3)，用新的采樣間隔選取t值，可以得到一組新的采樣點作為放大后圖像上的點。

1.6 拉格朗日插值

自由度為N-1的拉格朗日插值基函數定義為：



LagrahN(x)=

∏N-1j=0j-N/2+1≠nn-i-xn-i， n-1≤x≤n

0，其他

(6)



式中i=j-N/2+1。

1.7 高斯插值

M階高斯插值基函數：





GausshMN(x)=

∑Mm=0am·Gm(x，βm)，0≤x≤n/2

0，其他

(7)



式中Gm(x，βm)=mum12βe－x2/2β。

時域內各種方法性能比較：

通帶：最近鄰插值和線性插值以及二次插值在通帶內偏離理想的矩形形狀較大。因此在做插值時圖像將被平滑，這些方法僅使適用于沒有尖邊和局部高對比區域的場景圖像。最好的通帶特性可以由三次B樣條插值、三次插值和具有較大核尺寸的拉格朗日插值及所有的高斯基函數實現。

截止頻率：三次B樣條插值以及三次插值、拉格朗日、高斯基函數(N>4)具有較好性能。最糟糕的是最近鄰插值。考慮到截止標準，應該避免使用線性插值。

阻帶：阻帶特性影響到混疊和波紋效果。最近鄰插值、線性插值、二次插值、4×4三次插值和拉格朗日插值產生波紋和旁瓣大于1%。截斷Gaussian函數低于0.1%。

綜合通帶、阻帶及截止頻率的傅里葉分析，最近鄰插值和線性插值應該避免，高斯基函數(N較大者)具有較好性能。

2 頻域縮放算法

在頻域里可以根據對阻帶和通帶的技術要求進行設計，從而能夠保證良好的通阻帶特性，以盡量減少在圖像縮放時的失真。

2.1 二維快速傅里葉變換法

對于時域數據的頻譜圖，如果從頻譜圖中去掉一些頻率分量，然后作IFFT，得到時域數據，可以實現對圖像的縮小。而如果在頻譜中加入一些零值，再作IFFT，得到時域數據，則可實現對圖像的放大。二維快速傅里葉變換法是先將時間序列進行傅里葉變換，然后構造一個中間序列，利用這個中間序列進行二維傅里葉逆變換，實現圖像縮放［14］。

2.2 二維可分離插值濾波

文獻［14］提出一種分離變量的有理因子圖像尺寸轉換方法，即將圖像尺寸的縮放轉化為變量可分離的兩個一維離散信號的采樣率轉換來處理：分別沿著圖像的水平方向和垂直方向，在離散域獨立地進行采樣率轉換，對圖像的列和行進行尺度轉換。

在多速率信號處理中，上采樣過程和下采樣過程分別會帶來混疊效應和鏡像效應，這些效應會降低圖像的質量，因此必須加以抑制。所以上采樣之后的信號必須經過一個低通濾波器進行濾波。在下采樣之前，用一個低通抗混疊濾波器以限制頻帶是必不可少的。

理想插值濾波器是截止頻率為π/L，通帶增益為L的低通濾波器。引進目標函數為：

式中:h0(m)為插值濾波器h(n)的第一個多相位分量，第三個條件為正則階條件，正則階條件保證了內插尺度濾波器在ω=0附件的平坦性。

抗混疊濾波器g(n)的設計同插值濾波器。

2.3 二維不可分離插值濾波

二維可分離插值濾波器將二維圖像信號分為水平方向和垂直方向的一維信號，使問題得到簡化，但為了更好地保持圖像的重要細節信息，可以采用二維不可分離的插值濾波器進行設計。由于不可分插值濾波器的優化自由度比可分插值濾波器的高得多，在相同通帶和阻帶性能要求下，不可分插值濾波器支撐區更小，空間局部性更好，從而在圖像尺寸轉換過程中能夠更好地保持原有圖像的重要信息［15］。

二維不可分對稱插值濾波器設計可以描述成下面一個帶線性約束的二次優化問題：

二維可分離和不可分插值濾波器由于需要求解最優函數，因此需要較長的計算時間，對于那些對轉換速度要求比較高的場合不太適合，但由于這兩種方法由于可以嚴格保證通帶和阻帶性能，因此變換后的圖像具有較好的質量，因此這兩種方法適宜質量要求高，而對速度要求不是太高的場合。

3 圖像縮放實例

幾種圖像尺寸縮放方法的示例如圖1所示。從圖1中不難看出幾種方法的優點和缺點，其中二維不可分離插值濾波器器的方法放大后的圖像效果最好。

4 結 語

本文從頻域和時域出發，簡要介紹了幾種常見的圖像尺寸縮放方法，并指出了它們的優劣。在進行插值方法選擇時，應盡量避免使用最近鄰插值和線性插值兩種方法，而選用高斯插值，若對圖像轉換質量要求非常高，建議采用二維不可分插值方法。

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作者簡介：

李秀英 女，山東臨沂人，碩士。主要研究方向為圖像處理、計算數學。

(上接第47頁)

和V參數SVM不同核函數及每個核函數的不同參數實驗，對實驗結果進行對比分析，得到NuSVM V參數支持向量機的分類效果好，能準確地從信號的相關分析中獲取煙氣輪機的正常工作狀態與故障狀態。基于支持向量機的煙氣輪機故障診斷還可以延續到對故障類別的具體分析，從模型的故障狀態系數可以對故障狀態下的樣本進行再訓練，尋找最佳支持向量，并再分類，以此類推，從而獲得故障的多類型，對煙氣輪機故障狀態的預測具有十分重要的意義。

參 考 文 獻

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作者簡介：

王淑芳 女，1961年出生，山東威海人，高級工程師。主要研究方向為智能檢測與控制。