一類梁方程的精確可控性

王紅雁

（山西農業大學信息學院，山西太谷 030800）

在本文中主要討論下列梁方程系統

其中L是梁的長度，上標y″，yx表示關于t，x求偏導數，R1表示實數集。

首先考慮（1）所對應的齊次系統

的一些性質，從而得到了兩個系統在零時刻的狀態空間之間的一個對應關系；最后從這映射的象解出其原象（即驗證這一映射是滿射），由此得到了系統（1）的精確可控性。

定義1 問題（1）是零精確可控的是指：給定T＞0，若對任意（y0，y1）∈H－1［0，L］×H－3［0，L］，存在一個相應的控制v∈L2（0，T），使得系統（1）的解滿足：y（x，T）＝0，y′（x，T）＝0，x∈［0，T］。

定理 2 給定T ＞0，?c＝c（T）＞0，使得對于（u0，u1）∈Z×Z問題（2）的解滿足下列不等式：因此有一個唯一的連續線性映射

使得 L（u0，u1）＝uxx，?（u0，u1）∈Z × Z0。引入線性映射：

可以重新寫這個恒等式為下面的形式：

LS（u0，u1）＝〈（y′（S），－y（S）），（u（S）u′（S））〉X′，X

定義 3 如果（y，y′）∈（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）且對于?S∈R1，（u0，u1）∈X 這一恒等映射 LS（u0，u1）＝〈（y′（S），－y（S）），（u（S）u′（S））〉X′，X成立，則稱（y，y′）是系統（1）的一個解。

定理 4 給定（y0，y1）∈H－1［0，L］×H－3［0，L］且則系統（1）有一個唯一的解，而且線性映射（y0，y1，v）α（y，y′）連續。

證明 由 定理2知，對于每個固定S∈R1，線性形式 LS在 X ＝H3［0，L］×H1［0，L］中有界，而且可以得到線性映射（u（S），u（′S））α（u0，u1）是X＝H3［0，L］×H1［0，L］到自身的同構[2]，因此線性映射

（u（S），u（′S））α L（Su0，u1）

接下來證明函數

在每個有界區間上有界的。即證明對于每個有界區間 I且 S∈I，有

其中 c（I）由 S，v，y0，y1決定。

事實上，選擇（u0，u1）∈X，引入下面的簡寫符號：

若（y0，y1）∈H－1［0，L］× H－3［0，L］，且 v ∈（R1），使得 v（ 0）＝0 則系統（1）有一個正則解

y∈C（R1；H－［10，L］）∩C1（R1；H－［30，L］），特別地有（y，y′）∈C（R1；H－［10，L］×H－3［0，L］）。因為

在C（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）中稠，由

得出

（y，y′）∈C（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）在一般情形也成立。由知線性映射（y0，y1，v）α（y，y′）。

且系統（1）的解滿足

y（T）＝0，y′（T）＝0。

次系統（2）則下列系統

有一個唯一的解。由定理2，定理4得到Λ（u0，u1）＝（y′（0），－y（0））。

[1]張恭慶,林源渠.泛函分析講義[M].北京:北京大學出版社,2004.

[2]Komornik V.Exact controllability and stabilization[M].Paris:Chichester,1994.