拓撲空間中Moore-Smith收斂的理想刻畫

吳 樂

（西安西港花園高級中學，陜西西安 710026）

在現實生活中存在著各種逼近狀態無法用序列收斂來描述.在一般拓撲空間中，Moore-Smith收斂就是用來描述這種逼近狀態的理論.常見的Moore-Smith收斂是通過拓撲空間中的網[3]來刻畫的.本文將利用拓撲空間中的理想來完成這種刻畫.下文中假設(X，T)是一個拓撲空間，P(x)表示X的冪集，即P(X)=｛A|A?X｝.

定義1 設I?P(X)，如果I滿足條件：

（1）?∈I，X?I；

（2）若A∈I，B∈I，則A∪B∈I；

（3）若A∈I，A?B∈P(X)，則B∈I，那么稱I是X上的一個理想.

定義2 設x∈X，A∈P(X)，若存在G∈T使得x∈G?A，則稱A為x的鄰域，稱x的全體鄰域之集為x的鄰域系，記作N(x).稱集合Nop(x)=｛B∈P(X)|X-B∈N(x)｝為x的余鄰域系.

定理1 對于任意的x∈X，x的余鄰域系Nop(x)是X上的理想.

證明：對于任意的x∈X，由定義1和定義2可得：

（1）由于x∈N(x)，??N(x)，則?∈Nop(x)，X?Nop(x)；

（2）若A，B∈Nop(x)，則X-A，X-B∈N(x)，于是X-(A∪B)=(X-A)∩(X-B)∈N(x)，從而A∪B∈Nop(x)；

（3）若A∈Nop(x)且A?B∈P(X)，則X-A?X-B，于是X-B∈N(x)，從而B∈Nop(x).

定義3 設I是拓撲空間(X，T)上的理想，x∈X，

（1）如果Nop(x)∈I，則稱理想I收斂于點x，或稱點x為理想I的極限點，記I的所有極限點之集為limI.

（2）如果對于任意的A∈I和B∈Nop(x)，A∪B≠X，則稱理想I聚于點x，或稱點x為理想I的聚點，記I的所有聚點之集為adhI.

定理2 設I是拓撲空間(X，T)上的理想，則limI?adhI.

證明：任取x∈limI，由于x是理想I的極限點，則Nop(x)?I，于是對于任意的A∈I和B∈Nop(x)，A∪B∈I，而X?I，所以A∪B≠X，從而x∈adhI.

定理3 設I1，I2是拓撲空間(X，T)上的理想，且I1?I2，則limI1?limI2，adhI1?adhI2.

證明：任取x∈limI1，由于x是理想I1的極限點，則Nop(x)?I1，而I1?I2，于是Nop(x)?I2，所以x∈limI2.

任取x∈adhI2，由于x是理想I2的聚點，則對于任意的A∈I2和B∈Nop(x)，A∪B≠X，而I1?I2，于是，對于任意的A∈I1和B∈Nop(x)，A∪B≠X，所以x∈adhI1.利用這種收斂方式，可以給出集合閉包的刻畫.

定理4 設A?X，那么x∈A-，當且僅當存在X上的理想I，使得A?I且x∈limI.

證明："?"若x∈A-，則對于任意的G∈N(x)，G∩A≠?，于是(X-G)∪(X-A)≠X，從而對于任意的H∈Nop(x)，H∪(X-A)≠X.令I=｛U∈P(X)|存在H∈Nop(x)｝，使得U?H∪(X-A).下證I是X上的理想，

（1）顯然?∈I，由于對于任意的H∈Nop(x)，H∪(X-A)≠X，所以X?I；

（2）若U，V∈I，則存在存在H，K∈Nop(x)，使得U?H∪(X-A)，V?K∪(X-A)，于是U∪V?H∪K∪(X-A)，由于Nop(x)是理想，則H∪K∈Nop(x)，從而H∪K∈I.

（3）若 U∈I且 U?V∈P(X)，則存在 H∈Nop(x)，使得V?U?H∪(X-A)，于是V∈I.

從而，I是 x上的理想.由 I的定義可知，Nop(x)?I，于是 x∈limI.假設 A∈I，則存在H∈Nop(x)使得A?H∪(X-A)，而A∩(X-A)=?，則存在G∈N(x)使得 G?X-A，于是 A∩G=?，與 x∈A-矛盾，所以A?I，

"?"設I是X上的理想，A?I且x∈limI，則Nop(x)?I.假設 x∈A-，則存在 U∈N(x)使得 U∩A=?，于是 A?X-U∈Nop(x)?I，從而 A∈I，與A?I矛盾，故x∈A-.

下面討論X中的理想與網之間的聯系.設D是非空集合，≤是D上的一個二元關系，如果滿足條件：

（1）對于任意的m，n∈D，若m≤n，則n≤m；

（2）對于任意的m，n，p∈D，若m≤n且n≤p，則m≤p；

（3）對于任意的m，n∈D，存在p∈D，使得m≤p且n≤p，那么稱(D，≤)是一個定向集.稱映射S∶D→X為拓撲空間(X，T)中的網，記作｛Sn｝n∈D.設x∈X，若對于任意的G∈N(x)，都存在m∈D，使得對于任意的n∈D，當m≤n時，Sn∈G，稱網｛Sn｝n∈D收斂于點x，或x是｛Sn｝n∈D的極限點，記｛Sn｝n∈D的全體極限點之集為limS.若對于任意的G∈N(x)和m∈D，總存在n∈D，使得m≤n且Sn∈G，稱網｛Sn｝n∈D聚于點x，或x是｛Sn｝n∈D的聚點，記｛Sn｝n∈D的全體聚點之集為adhS.

對于拓撲空間(X，T)中的網｛Sn｝n∈D，令

I(S)=｛U∈P(X)|存在 m∈D，使得對于任意的n≤m，Sn?U｝，容易驗證I(S)是X上的一個理想.

對于 X上的理想 I，令 D(I)=｛(x，A)∈X×I x?A｝，對于任意的(x，A)(y，B)∈D(I)，定義

(x，A)≤(y，B)當且僅當A?B，

由理想的定義知，D(I)是定向集.定義映射S(I)∶D(I)→X為，對于任意的(x，A)∈D(I)，S(I)((x，A))=x，這樣得到拓撲空間(X，T)中的網S(I).

定理5 設I是拓撲空間(X，T)上的理想，｛Sn｝n∈D是(X，T)中的網，則

（1）limI=limS(I)，adhI=adhS(I).

（2）limS=limI(S)，adhS=adhI(S).

證明：（1）一方面，對于任意的 x∈limI，則Nop(x)?I，于是對于任意的G∈N(x)，x?X-G∈I，從而(x，X-G)∈D(I).對于任意的(x，X-G)≤(y，A)，則S(I)((y，A))=y?A?X-G，于是S(I)((y，A))∈G，從而x∈limS(I).另一方面，對于任意的x∈limS(I)，則對于任意的G∈Nop(x)，存在(x，A)∈D(I)，使得對于任意的(x，A)≤(y，B)，S(I)((y，B))=y?G，于是G?B?I，從而Nop(x)?I，即x∈limI.

類似地可以證明adhI=adhS(I).

（2）x∈limS，當且僅當對于任意的G∈N(x)，都存在m∈D，使得對于任意的n∈D，當m≤n時，Sn∈G，當且僅當Nop(x)?I(S)，當且僅當x∈limI(S).

x∈adhS，當且僅當對于任意的G∈N(x)和m∈D，總存在n∈D，使得m≤n且Sn∈G，當且僅當任意的U∈I(S)和G∈N(x)，A∪(X-G)≠X，當且僅當x∈adhI(S).

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]伍勝健.數學分析[M].北京：北京大學出版社，2010.

[3]Kelley J L.一般拓撲學[M].汪浩，譯.長沙：國防科學技術大學出版社，1981.