離散周期Wigner-Hough變換及其檢測性能分析?

王澤眾，劉鋒，黃宇，向崇文

離散周期Wigner-Hough變換及其檢測性能分析?

王澤眾1，劉鋒2，黃宇1，向崇文1

（1.海軍航空工程學院研究生管理大隊，山東煙臺264001；2.海軍航空工程學院電子信息工程系，山東煙臺264001）

分析了周期Wigner-Hough變換（PWHT）進行離散化計算時，對線性調頻連續波（LFMCW）信號的檢測性能。通過推導高斯白噪聲中LFMCW信號經離散化PWHT后信噪比處理增益表達式，分析了離散PWHT的弱信號檢測性能。通過推導離散PWHT較離散Wigner-Hough變換（WHT）的檢測性能優勢表達式，比較了離散PWHT與離散WHT算法的檢測性能。仿真實驗驗證了離散PWHT的信噪比處理增益具有準相干積累的效果，PWHT較WHT更優的檢測性能。

時頻分析；周期Wigner-Hough變換；LFMCW；檢測性能分析

1 引言

連續波（CW）雷達信號工作比為1，在相同的探測性能要求下，較脈沖雷達信號有更低的功率，雷達偵察系統對于連續波雷達信號的截獲比脈沖雷達信號更加困難［1］。單載頻連續波雷達信號可以實現速度測量，但是其距離分辨力較低，不適用于高性能的雷達系統。線性調頻連續波（LFMCW）信號既可以獲取遠程目標距離信息，同時又有較高的速度分辨率，又適合使用FFT處理器快速處理，成為高性能調頻連續波（FMCW）雷達［2-3］廣泛使用的雷達信號。并且，由于此類雷達信號輻射功率低，調制規律復雜，現有雷達偵察系統對此類信號的截獲性能亟待提高。對于LFMCW信號的有效截獲，是目前雷達偵察領域的研究熱點之一。

針對此問題，國內外進行了廣泛研究。具有代表性的，文獻［4］采用鏡像濾波器組（QMFB）對LFMCW信號的檢測進行了研究，但是QMFB不具抗噪功能，需要首先對信號進行消噪處理，導致信號檢測與參數提取能力受消噪能力影響較大。文獻［5-8］在時頻平面上，通過Wigner-Hough變換（WHT），將LFMCW信號看成是多個LFM脈沖信號進行了信號檢測研究。WHT是LFM脈沖信號的廣義似然比檢測（GLRT）［9］，即無任何先驗信息條件下的最優檢測，但是在LFMCW信號持續時間內，其頻率調制的變化趨勢并不是持續的線性調頻（LFM），而是呈現出調頻率周期間斷的LFM特征，多個間斷LFM信號的WHT存在交叉項，將WHT應用于LFMCW信號的檢測，并不是最優檢測，并且其運算復雜度相對比較高。文獻［10-12］采用基于分數階Fourier變換（FRFT）的快速算法，在大大降低運算復雜度的情況下，取得了同WHT基本相似的LFMCW信號檢測能力，同樣無法克服多個間斷LFM信號的交叉項問題。

考慮偵察接收機的一次觀測時間，當觀測時間變長時，進入接收機的LFMCW信號有更多的調制周期，引起信號能量增大。理論上說，LFMCW信號的檢測能力應隨進入的LFM調制周期數增加而相應提高。但是，在LFMCW持續時間內，其頻率調制周期性變化并不是持續的LFM，基于QMFB、WHT或FrFT的LFMCW檢測的算法，并沒有隨著觀測時間的延長而產生輸出信噪比的改進。

周期Wigner-Hough變換（PWHT）是2010年由Francis G.Geroleo［13］提出的，將LFMCW信號的周期性LFM特征考慮在內，可以實現對LFMCW信號的廣義似然比檢測和極大似然估計。工程應用和仿真分析中，往往通過計算機進行數值計算，需要研究PWHT的離散化算法。

對于離散化的PWHT，其性能直接影響工程應用，本文以離散PWHT的LFMCW檢測性能為對象開展研究。首先，對LFMCW的離散PWHT進行了

研究，得出了其數值與采樣點數的關系。然后，對LFMCW經PWHT處理后的輸入輸出信噪增益進行了推導，得出了關系表達式，分析了采樣頻率、采樣時間對輸入輸出信噪增益的影響。接下來，根據Wigner-Hough變換與周期Wigner-Hough變換的聯系，得到了周期Wigner-Hough變換較Wigner-Hough變換的檢測能力優勢表示。最后，通過Matlab仿真驗證了離散化周期Wigner-Hough變換對LFMCW信號的檢測性能。

2 離散化PWHT算法

設采樣頻率為fs，采樣點數為N，LFMCW信號LFM周期為T，帶寬為BW，則調頻率Δ=BW／T，在采樣點數的觀測時間內，有M=N／（T·fs）個LFM調制周期。信號表示為

式中，x（n）表示LFMCW信號；n為采樣點，n=0，…，N-1。

將連續PWHT［13］的瞬時自相關函數和匹配函數進行離散化，得到：

式中，n和k表示時間采樣點。則任意離散信號y（n）的PWHT可以表示為

上式應用于數值計算，需要確定n、k的求和范圍。由式（3）可知：

對此不等式方程組求解，可以得到：

當LFMCW雷達信號不含噪聲，則有：

LFMCW信號離散PWHT在參數集f?i=fi、?Δ= Δ、?τbias=τbias、?T=T處得到最大值，使LFMCW信號在坐標f?i=fi、?Δ=Δ、?τbias=τbias和?T=T處有最好的能量聚集性，并且峰值點幅度符合采樣點數N的二次方關系。隨著N的增大，峰值數值取得更大的增長。

3 離散PWHT算法性能分析

由于隨機噪聲的存在，信號y（n）=x（n）+ ω（n）離散PWHT的峰值PWHT（fi，Δ，τbias，T）成為隨機變量，勢必影響對于LFMCW信號的檢測。存在噪聲的情況下，有必要分析離散PWHT算法對于LFMCW信號檢測性能。

假定噪聲為加性循環高斯白噪聲，且LFMCW信號與噪聲不相關。因為噪聲中LFMCW信號檢測是在離散PWHT處理后進行的，輸出信噪比SNRout與輸入信噪比SNRin有一定的關系，即處理增益。通過離散PWHT的處理增益對其檢測性能進行分析。

離散PWHT處理后噪聲污染的LFMCW信號輸出信噪比SNRout表示如下：

式中，分子表示LFMCW信號本身的離散PWHT，由式（9）可知其值為N2A2／22=N4A4／4；分母表示LFMCW信號加噪聲信號的離散PWHT的方差，其計算公式為

式中，E［·］表示數學期望。

加性循環高斯白噪聲，即噪聲的實部和虛部獨立同分布，均為高斯白噪聲。設ω（n）的實部和虛部均服從均值μ為0、方差為σ2ω的正態分布，則噪聲的離散自相關為

式中，δ（k）表示單位沖激函數。

由式（5）得：

將式（1）、（2）和（4）代入上式，得到：

其中：

綜合式（16）和（17），得到

則：

接下來求離散PWHT平方的期望，其表示式為

式中，x1=x( n+k)，x2=x( n-k)，x3=x( p+q)，x4=x(p-q)，ω1=ω(n+k)，ω2=ω(n-k)，ω3 =ω(p+q)，ω4=ω(p-q)；H(n，k，p，q)表示式（4）中離散PWHT匹配函數的平方，即：

由于LFMCW信號與噪聲不相關，且零均值循環高斯白噪聲的3階矩為0，則式（21）表示如下：

將x1～x4、ω1～ω4和式（22）代入上式，得到

將式（20）和（24）代入式（11），可以得到

將式（9）和（25）代入式（10），可以得到輸出信噪比

由上式可以看出：當SNRin?1時，SNRout≈N／2 ·SNRin，采樣點數N成為SNRin的倍增器，說明在大信噪比條件下，離散PWHT可以大幅提高信噪比，有利于信號的檢測；但是，當0＜SNRin?1時，SNRout?SNRin，離散PWHT處理后反而使SNRin變得更小。

為了描述SNRout與SNRin的關系，設計信噪比增益因子G，如下所示：

當SNRout大于SNRin時，G＞0；SNRout小于SNRin時，G＜0；SNRout等于SNRin時，G=0，即無增益。為了實現輸入信噪比SNRin的改善，需要采樣點數N的合理設置，使得到G＞0。

圖1描述了SNRin和采樣點數N共同對G的影響，并在其中標出0 dB平面（即G=0），在0 dB平面以上表示SNRout大于SNRin，反之表示SNRout小于SNRin。由圖可以看出：關系曲面只要滿足一定條件，明顯穿越0 dB平面，其穿越臨界點由信噪比SNRin和采樣點數N共同決定。

取SNRin等于-20 dB、-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB的切面，可以描述采樣點數N與SNRout的關系，如圖2所示。由圖可以看出：SNRout（dB形式）隨采樣點數N增大以指數級別提高，在-20 dB條件下，當N大于500時，SNRout大于SNRin。這說明：在低信噪比條件下，只要采樣點數N足夠大，可以滿足SNRout大于SNRin的要求，離散PWHT可以適用于低信噪比下的LFMCW信號檢測。

在觀測時間Tobs確定的情況下，采樣點數N主要由采樣頻率fs決定，有以下關系：

低信噪比下的LFMCW信號檢測，根本上是可以通過提高采樣頻率fs而不斷改善的。由于Tobs確定，N和fs為線性關系，采樣頻率fs與SNRout的關系與圖2相似。理論上說，LFMCW信號的低信噪比檢測可以通過提高fs而實現。

由于fs與SNRout的關系，當fs固定時即N固定時，SNRin與SNRout有確定的關系。設N等于8、16、32、64、128，同時加入SNR′out=SNRin（即輸出信噪比增益等于0 dB）作為對比，得到SNRin與G的關系，如圖3所示。

由圖可以看出：當N固定，SNRin小于某一特定值時，G＜0 dB，有SNRout＜SNR′out=SNRin；除此之外，SNRout均大于SNRin。此臨界點在N＞16時，其值為SNRout均大于SNRin。而在實際接收機中，其采樣點數N一般遠大于此數值，低于此數值導致SNRout?SNRin的情況是不存在的。所以，離散WHT在實際信號環境中總能保證SNRout＞SNRin，可以應用于實際信號環境中（包括低信噪比環境）的LFMCW信號檢測。

綜上所述，可以得到如下結論：由于PWHT所處理的LFMCW信號其持續時間（或調頻帶寬）是有限的，在采樣頻率fs足夠高的條件下，采樣點數N也會足夠大以適應低信噪比和參數估計精度要求，在運算量提高的代價下，無論在大信噪比還是低信噪比條件下，都可以實現LFMCW信號的檢測和參數估計。

4 PWHT較WHT的處理增益分析

設觀測時間Tobs內一個LFMCW信號的LFM調制脈沖數為M，一個LFM調制周期的時間長度為T，采樣頻率為fs，則觀測時間內的總采樣點數為

基于PWHT的處理增益為

由于WHT是基于一個LFM調制周期進行處理的，沒有PWHT的累積過程，其處理增益為一個LFM調制周期處理的增益，在此時間內的采樣點數為Tfs，結合文獻［4］給出的WHT的處理增益，可以得到

由式（31）和式（32）可以得到PWHT較WHT的增益

取一個LFM周期內的采樣點數Tfs分別為16、

32、128和256，觀測時間內LFMCW信號包含LFM周期個數M=1，2，3，4，5，輸入信噪比SNRin取-50～10 dB，對PWHT較WHT的增益進行了Matlab仿真，結果如圖4所示。由圖4中任意一張圖可以看出，在一個LFM周期內的采樣點數Tfs固定的情況下，觀測時間內LFMCW信號包含LFM周期個數M越多，PWHT較WHT的增益越高。在M=5的條件下，PWHT較WHT的處理增益高達大約14 dB，充分證明了PWHT較WHT對LFMCW信號有準相干積累增益，PWHT較WHT處理更適合處理LFMCW信號。

值得注意的是，在M=1時，PWHT較WHT的處理增益為0 dB，說明PWHT處理單脈沖LFM信號時，其效果與WHT是相同的。

5 結論

周期Wigner-Hough變換可以實現對LFMCW信號的廣義似然比檢測和極大似然估計。將其用于工程應用和仿真時，往往進行離散化數值計算，離散化的PWHT其性能直接影響工程應用，需要研究PWHT的離散化算法對該變換的影響。

本文以離散PWHT的LFMCW檢測性能為對象，研究了離散化周期Wigner-Hough變換的信噪比增益以及較WHT的檢測性能優勢。得出結論為：離散PWHT的信噪比處理增益具有準相干積累的效果，PWHT較WHT更優的檢測性能，更適合在噪聲環境中對LFMCW信號的檢測。

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WANG Ze-zhong was born in Jinan，Shandong Province，in 1983.He received the M.S.degree in 2008.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns interception and identification of complex modulation radar signal.

Emulate：godohmy2005＠tom.com

劉鋒（1960—），男，陜西寶雞人，2010年獲博士學位，現為教授、博士生導師，主要研究方向為電子信息戰理論及應用；

LIU Feng was born in Baoji，Shaanxi Province，in 1960.He received the Ph.D.degree in 2010.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns the theory and application of electronic information war.

黃宇（1983—），男，湖南永州人，2009年獲碩士學位，現為博士研究生，主要研究方向為復雜調制雷達信號截獲與識別；

HUANG Yu was born in Yongzhou，Hunan Province，in 1983. He received the M.S.degree in 2009.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns interception and identification of complex modulation radar signal.

向崇文（1986—），男，湖南桑植人，2008年獲學士學位，現為碩士研究生，主要研究方向為雷達偵察信號處理。

XIANG Chong-wen was born in Sangzhi，Hunan Province，in 1986. He received the B.S.degree in 2008.He is now a graduate student. His research concerns radar reconnaissance signal processing.

Digitized Periodic Wigner-Hough Transform and its Performance Analysis

WANG Ze-zhong1，LIU Feng2，HUANG Yu1，XIANG Chong-wen1
（1.Graduate Students′Brigade，Naval Aeronautical and Astronautical Institute，Yantai 264001，China；2.Department of Electronic Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical Institute，Yantai 264001，China）

Linear Frequency Modulation Continuous Wave（LFMCW）detection performance of the digitized Periodic Wigner-Hough Transform（PWHT）algorithm is studied.Firstly，the weak signal detection performance is analysed through the derivation of the gain of the input signal-to-noise ratio（SNR）of a noisy LFMCW signal to the output SNR after PWHT processing.Then，the PWHT and Wigner-Hough Transform（WHT）detection performances are compared by obtaining the promotion of the gain of the input SNR to the output SNR after PWHT processing and WHT processing.Finally，the quasi-coherent integration effect of the PWHT algorithm in LFMCW detection is demonstrated through simulations，and the fact that PWHT performs better in the detection of LFMCW signal than WHT is also verified.

time frequency analysis；digitized periodic Wigner-Hough transform；LFMCW；detection performance analysis

The National Natural Science Foundation of China（No.60902054）；China Postdoctoral Science Foundation（No.20090460114）

TN971.1

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.09.008

王澤眾（1983—），男，山東濟南人，2008年獲碩士學位，現為博士研究生，主要研究方向為復雜調制雷達信號截獲與識別；

1001-893X（2012）09-1452-07

2012-02-28；

2012-04-26

國家自然科學基金資助項目（60902054）；中國博士后科學基金資助項目（20090460114）