函數與方程問題中數形結合的策略

【摘 要】在中學階段，學生應建立數與形的聯系，學會利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解并解決問題，掌握數形結合方法，形成數學直觀，感悟數學本質。本文探討在函數與方程問題中運用數形結合思想找到正確作圖方法，從而利用圖象解決問題的策略，從直接作圖，轉化作圖，求導作圖，轉化、求導結合作圖這四個層次展開論述。

【關鍵詞】中學數學;函數與方程問題;數形結合;作圖

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0128-04

數形結合就是利用幾何圖形描述問題，借助幾何圖形理解問題，通過數與形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法，它是解決函數與方程問題的重要數學思想之一。高考對函數與方程問題的考查年年涉及，學生普遍覺得難，得分率較低，主要原因是學生不能準確理解題意，不能有效轉化，哪怕心中清楚解決此類問題多數時候要用到數形結合思想，但苦于作不出正確的函數圖象，無法突破難點。基于此，筆者將從四個層次對如何在函數與方程問題中運用數形結合法找到作圖方法略作探討[1]。

1? ?直接作圖

例1：設a，b，c分別是方程x+3=logx，（）x=logx，（）x=x+3的實數根，則（? ）

A.a

分析：比較a，b，c大小，只需在同一坐標系中直接作出三函數y=x+3，y=logx，y=（）x的圖象，看他們的交點位置即可，如圖1。

觀察得到c

例2：已知λ∈R，函數 f（x）=，若函數 f（x）恰有2個零點，則λ的取值范圍是_______。

分析：分段函數 f（x）=恰有2個零點，則有兩種情況：①二次函數有兩個零點，一次函數無零點;②二次函數與一次函數各有一個零點。而此分段函數的每一段都是學生熟悉的函數，故可直接作圖，如圖2。

平移直線x=λ，分λ<1，1<λ<3，3<λ<4，λ>4四種情況，由圖2即可得到λ∈（1，3]∪（4，+∞）。

評注：方程的根、函數的零點問題，在高考中一般都是要用數形結合思想來處理，觀察例1、例2可以看到題中涉及的都是學生熟悉的基本初等函數，所以直接作出函數圖象，再依靠圖象即可獲得答案。

2? ?轉化作圖

例3：已知函數 f（x）= ，g（x）= f（x）+x+a，若 g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（? ）

A.[?1，0）? B.[0，+∞）? C.[?1，+∞）? D.[1，+∞）

分析：此題已知的是 g（x）的零點個數，但學生大多不能直接作出它的函數圖象，則可以思考能否把它轉化為熟悉的基本初等函數。通常情況下處理函數零點問題可轉化為處理方程的根問題，而 f（x）的每一段都是基本初等函數，故可令 g（x）= f（x）+x+a=0，把不能作圖的 g（x）的零點問題轉化為可以作圖的 h（x）=?x?a和 f（x）兩函數圖象的交點問題，如圖3所示。要想 y= f（x）的圖象與y=h（x）的圖象有2個交點，平移動態函數 y=h（x）的圖象可知，當直線 y=?x?a過點（0，1）時，有2個交點，此時a=?1，往下平移時均有2個交點，所以a≥?1。

例4：已知 f（x）= ，則 y= f（x）的零點個數是（? ）

A.4? ? ? B.3? ? ? C.2? ? ? D.1

分析：本題無法直接作圖，需轉化作圖，令+x?

=0，移項，發現如果只是單純地左右拆分，

依然無法作出圖象，需進一步轉化，將變形，兩邊同乘x，化簡得到2|x|=2?x2（x≠0），此時左右兩邊的函數均可作圖，畫出函數 y1=2|x|（x≠0）， y2=2?x2（x≠0）的圖象，如圖4所示，由圖可知，函數 f（x）有兩個零點。

評注：在處理方程的根、函數的零點問題時，如果題中的函數不是基本初等函數，不能直接作圖，可通過轉化后作出函數圖象解題，如例3中只需移項，左右重新組合就可作出函數圖象;如果移項后仍不能作圖，可進一步轉化直到可以作圖，如例4需要適當地進行整理變形轉化。只要能得到學生熟知的基本初等函數，問題就能迎刃而解。

3? ?求導作圖

例5：已知函數 f（x）=，a∈R，若方程 f（x）?2=0恰有3個不同的根，求a的取值范圍。

分析：此題中第一段函數不能直接作圖，但可以適當變形轉化。把=2（x≠0）的兩邊同乘x，得到ex?1=2x就可以作出圖象，進而得出答案。除此以外，此題還可通過“求導”解題，通過使用導數這個工具，可以判斷函數的單調性，從而知道函數的極值、最值，那么就能大致畫

出函數的圖象。當x>0時，f（x）=，f′（x）=，

當01時， f′（x）>0，函數 f（x）單調遞增，且 f（1）=1為 f（x）在

（0，+∞）上的最小值。當x ≤ 0時， f（x）=ax+2a+1的圖象恒過點（?2，1），作出大致圖象如圖5所示。

結合圖象可知，當a≥0時，若方程 f（x）=2有三個根，則需要 f（0）=2a+1≥ 2，即a≥;而當a<0時，結合圖象可知，一定有3個解，綜上所述，a的取值范圍為a<0或a≥。

例6：已知函數 f（x）=若方程 f（x）=a（a為常數）有兩個不相等的根，2則實數a的取值范圍是（? ）

A.（?∞，0）? ? ? ? ? ?B.[，e]

C.（?∞，0]∪[，e]? ?D.（-∞，0）∪[，e]

分析：第一段函數不能直接作圖，可以適當變形轉化嗎？似乎也沒那么容易，何況此函數沒有參數，求導作圖很方便，當x>0時，函數 f'（x）=2?（ln x+1）=1?ln x，由 f'（x）>0，得0

ex+a，由于導數函數含有參數，需要進行分類討論。當a≥0時， f'（x）>0，此時 f（x）在R上單調遞增，不可能;當a<0時， f'（x）=0，x=ln（?a）， f（x）在（?∞，ln（?a））上單調遞減，在（ln（?a），+∞）上單調遞增，根據單調性大致作出圖象如圖8所示。

要使 f（x）有兩個零點，只需最小值 f（ln（?a））<0，解得a

方法三：對原函數實行參變分離，則原函數轉化為 y1=a和 y2=兩個函數，常數函數 y1圖象很簡單，函數 y2雖然不能直接作圖，但它是無參函數，通過求導得到y'2=，判斷單調性，可知在（?∞，1）上函數單調遞增，（1，+∞）上函數單調遞減，從而作出圖象如圖9所示，通過圖象可知，只需要a

評注：方法一轉化為兩個函數，但由于其中一個函數含參，是動態的，所以需要分析清楚相切位置再進行處理;方法二直接求導，同樣由于導函數含參，依然要分類討論進行處理;而方法三把轉化、求導兩種方法結合起來，先轉化為兩個函數，由于一個是常數函數，另一個是無參函數，解題難度就降低了，再對其中一個函數使用求導作出圖象，借助圖象求出答案，方法三對懼怕含參問題的同學比較適合。

以上即為解決函數與方程問題時使用數形結合思想，需要作圖時的四個基本方法。在求解此類問題時，有時只需一種方法即可求解，有時可能需要兩種方法結合起來，學生可以按上述四個方法的順序思考如何作出圖象，再利用圖象解出答案。雖然函數與方程問題中以形助解的數形結合思想是一大難點，但只要有心去深究，還是有一定規律可循的。

【參考文獻】

[1]曹輝.導數問題中分類討論的策略[J].理科考試研究，2018（19）.

【作者簡介】

施浩妹（1980～），女，漢族，浙江人，本科，中學一級教師。研究方向：中學數學教學研究。

Strategy of Combination of Number and Shape in Function and Equation Problems

Haomei Shi

（Genshan Middle School， Zhejiang， Hangzhou， 310003）

Abstract：In middle schools， students should establish the relationship between number and shape： learning to use geometric graphics to describe problems， understanding and solving problems with the help of geometric intuition， mastering the combination method of number and shape， forming mathematical intuition and understanding the essence of mathematics. This paper discusses how to use the idea of combination of number and shape to find the correct drawing method in the problem of function and equation， so as to use the strategy of image to solve the problem. It is discussed from four levels： direct drawing， transformation drawing， derivation drawing， and junction drawing of transformation and derivation.

Key words：middle school mathematics; function and equation problems; combination of number and shape; mapping