射影線束形成的二階曲線及其退化形式

劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學機械工程學院，山西 太原 030024）

共底射影對應平面αα'，成透射位置時，其所有對應線束形成的二階曲線全部出現退化。但是，如果不成透射位置時，他們的對應線束形成的二階曲線為圓、橢圓、雙曲線和拋物線，這些二階曲線共同組成的圖譜豐富多彩。當我們固定一個場α不動，讓另一個場α'平移、旋轉運動時，二階曲線類型不僅按照一定規律變化，而且退化形式也有多種。

1 二射影對應平面場特殊線束形成的二階曲線

任給二射影對應平面場α(A，B，C，D…)α′(A′，B′，C′，D′…)，我們可以容易的作出兩對對應合同線束SS′、HH′，其中SS′為同向，HH′為異向；兩對對應合同點列ll′、kk′，u′v直線分別對應兩場的非固有直線[1]。如圖1 所示且存在3種對應線束。

圖1 二射影對應平面場αα′

圖2 一對非對非線束形成雙曲線

第1種，底為非固有點對應非固有點的唯一一對對應線束p∞p∞′，簡稱非對非。它們形成的二階曲線為雙曲線，漸近線為u′v，如圖2所示。如果我們平移其中一個射影平面場并不改變p∞p∞′形成雙曲線的類型和漸近線的方向。

第2種，底為固有點對應非固有點的線束，即u′v線上的點與其非固有對應點的二線束，簡稱固對非。他們形成的二階曲線為拋物線，如圖3所示。拋物線的軸線是非固有點方向，這種拋物線只有在二平面場成透射時才出現退化。

圖3 固對非線束形成拋物線

第3種，底為固有點對應固有點的線束，簡稱固對固。其中特殊的兩對合同線束，SS′同向形成二階曲線為圓，HH′異向形成二階曲線為雙曲線，如圖4(a)所示。HH′形成雙曲線的漸近線可以通過反射線束H′成H0′得到，如圖4(b)所示。他們的漸進線是一對垂直的直線，因此HH′形成的雙曲線是等邊雙曲線。有趣的是，當αα′二場中的合同點列相交于一對對應點時，HH′形成的雙曲線退化成兩條相互垂直的直線，如圖5所示。

圖4 同向合同線束形成圓異向合同線束形成等邊雙曲線

圖5 合同點列相交時異向合同線束HH′退化成直線

2 一般固對固線束形成的二階曲線

一般固對固線束，若平移其中一對對應線束，不改變他們形成二階曲線的類型。因此，我們可以通過二線束平移共底后二重直線的數量來判斷其二階曲線類型。

異向對應線束形成雙曲線。

同向對應線束有3種情況：橢圓，雙曲線和拋物線。為了說明這個問題，我們引進任意二射影對應線束的度量問題[2]。二射影對應線束的“大小”，可以由他們的一對對應主直線mm′、nn′和一對對應“等角線”xx′、yy′來確定。xx′、yy′是二線束平移旋轉后，異向共底對合的二對對應二重直線。

任取二射影平面場中EE′對應點為底的同向線束，形成二階曲線為橢圓，這說明如果EE′共底一定無二重直線，如圖6所示。如果我們固定E線束不動，讓E′旋轉到xx′平行位置，這時形成的二階曲線為拋物線，見圖7。yy′平行時為另一種拋物線位置，而且僅有這兩種位置為拋物線，其余為雙曲線和橢圓（圖略）。

圖6 固對固同向線束形成橢圓

圖7 固對固同向線束形成拋物線

3 二階曲線的退化

關于二階曲線的退化，用解析幾何來討論，認為有3種形式[3]。其中第2種“相交于一個實點的兩條虛直線”可能欠妥，因為虛直線上無實點。在這里借助于圖表的方式可以細分為11種，如表1所示。

從表1中可以看出，二次曲線退化形式并不與其類型相匹配，即不能稱為拋物型退化，橢圓型退化或雙曲線型退化。如非對非線束形成雙曲線，其中Aa型退化與固對固線束中拋物線Aa型退化相同。這種分類方式體現了射影對應中不同元素之中有相同，相同元素之中有不同的變化形式和規律。

4 關于二階曲線的一點說明

如果我們拋開共底二射影對應平面場αα′，單獨討論二射影對應線束，那么非對非線束形成的雙曲線與固對固線束形成的雙曲線是可以互相轉換的，見圖2。但是他們的退化形式卻是有區別的，固對固平移共底后成Ab型退化；而非對非平移后不退化，旋轉共底后出現Aa、Ba、Oa型3種退化，如表1所示。當然，固對非線束和固對固線束形成拋物線也一樣。所以，是孤立地討論二射影線束還是放在二射影平面場αα′中，或者放在二仿射平面場中是不一樣的。如二射影場中固對固線束和二仿射場中固對固線束雖然一樣，但非對非線束就不一樣，因為前者是射影的，后者卻是仿射的（參照相似點列與射影點列的區別）。

5 結 束 語

二射影對應平面交“線”是什么？通過上述討論，可以知道，這個“線”是變化不定的。因為射影平面中點和點是不同的（屬于點的線束不同），這些不同線束中的對應直線交點形成的“線”有圓、橢圓、拋物線和雙曲線，當然也可以是直線和點。這些“線”隨著二平面位置不同而變化。在歐氏平面中被看成不同幾何元素的點、直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，在非歐平面上都可以用一種幾何元素即射影線束來生成。這些對我們進一步研究射影空間是很有幫助的。

表1 二射影線束形成二階曲線退化表

[1]劉阜平, 丁 勇. 兩射影平面場的合同點列與線束[J].工程圖學學報, 1995, 24(2): 60-66.

[2]劉阜平, 丁 勇. 射影點列線束的移動與對合[J].太原重型機械學院學報, 1995, 16(2): 174-178.

[3]朱德祥, 朱維宗編. 射影幾何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 142-167.

[4]張 博, 周麗韞, 李興霞. 中點生成橢圓的整數型算法[J]. 工程圖學學報, 2011, (1): 1-4.