時間序列模型在查哈陽農場降雨量預測中應用

劉 楊，徐淑琴，董麗麗，王云鶴

(1.東北農業大學水利與建筑學院哈爾濱150030;2.中國農業科學院農田灌溉研究所，河南新鄉453003)

降水是自然界水循環的一個環節，如能有效干預降水，對于防洪抗旱，指導生產都是有益處的。到目前為止，有多種方法對降雨量進行擬合和預測，時間序列分析是其中的一種，對時間序列的研究起源于Yule(1927)［1］，他提出建立自回歸(AR)模型;Walker(1931)［2］在AR模型啟發下，建立了滑動平均(MA)模型和自回歸滑動平均(ARMA)混合模型，初步奠定了時間序列分析方法的基礎;Box和Jenkins (1970)［3］提出了一套比較完善的建模理論，使時間序列方法迅速發展起來。本文將采用時間序列分析方法對查哈陽地區1956—2008年的作物生育期月降雨量進行擬合預測，探求該地區的作物生育期的降雨量變化規律，為合理制定灌溉制度，節約用水，為當地的水資源可持續發展具有重要的深遠的意義。

1 時間序列模型基本原理

1.1 模型的構建

降雨量時間序列模型可由下列形式疊加表示為:

式中:Ht為降雨量;ft為趨勢變化項;pt為周期變化項;xt為隨機干擾項。

1.2 時間序列模型各分量的確定

1.2.1 趨勢變化項的確定

趨勢項f(t)表示為:

對于(2)式可以采用回歸分析的方法求出系數c0，c1，c2，…ck和階數k，具體求解方法可借用Excel軟件中現成的回歸分析模板來實現［4］。為檢驗擬合結果，需要計算趨勢曲線擬合的相關系數R，若無最佳擬合函數則認為無趨勢項或趨勢項不顯著［5］。

1.2.2 周期變化項的確定

趨勢函數確定后，再對扣除趨勢分量后的部分Yt進行周期項分析，對周期項采用諧波分析方法［6，7］分析提取。對序列Yt，可用L個波疊加的形式表示為:

式中:L為諧波個數，取n/2的整數部分;k為諧波序號，k=1，2，…，L;ak，bk為傅立葉系數，其計算式為:

1.2.3 隨機干擾項的確定

消除了趨勢項和周期項后，得到隨機項時間序列，對于平穩的隨機成分x(t)，我們可以用線性平穩隨機模型來表示它的統計特征，可以考慮建立AR(p)模型［8］。一般自回歸模型表示為:

式中:p為模型階數，求解方法是對偏相關系數進行統計分析，采用AIC準則［6－7］確定。φi為模型自回歸系數，i=0，1，2，…，p。φi可采用尤爾－沃爾克估計法，應用MATLAB求解。

1.3 時間序列模型檢驗［9］

式中:μ為均值，求出ε1，ε2，ε3，...εn，計算其自相關系數r1(ε)，r2(ε)，r3(ε)，...rk(ε)。通過計算統計量:(ε)則Q漸近服從自由度(m－p－q)的x2分布。若Q＜x2(0.05)，則εt為相互獨立的假定可以接受。

2 時間序列模型的實例應用

查哈陽灌區始建于1939年，是我國東北地區四大灌區之一，根據查哈陽農場1956—2008年每年的作物生育期(5—9月)降雨量觀測資料，對該地區降雨量變化進行模擬，并預測未來發展趨勢，對農場合理開發利用水資源具有重要的意義。查哈陽農場1956—2008年作物生育期的月降雨量變化情況如圖1所示。

2.1 建立趨勢項模型

根據上述建模方法，利用Excel軟件中現成的回歸分析模板來實現，趨勢項模型為:

f(x)=－0.0001t2+0.0221t+82.813 R=0.02

2.2 建立周期項模型

經對各個諧波方差檢驗，達到顯著水平的諧波只有1，112號。各諧波方差貢獻率分別為30.92%和3.24%，其F統計量分別為58.6450與4.3882，均大于Fα=3.05，達到顯著水平。故提取第1、112個諧波建立周期項模型:周期項變化圖形見圖2所示。

圖1 1956—2008年查哈陽農場月降雨量變化曲線圖

圖2 1956—2008年查哈陽農場月降雨量周期項變化曲線圖

2.3 建立隨機項模型

2.3.1 x(t)正態性檢驗［9－11］

2.3.2 根據偏相關分析確定模型階數

根據偏相關圖初步定AR模型階數p=14，選定k=3，5，14，利用AIC準則進一步識別模型階數是否合適。AIC(13) =2104.3;AIC(14)=2101.8;AIC(15)=2103;根據AIC準則確定模型階數p=14為最好。

2.3.3 AR模型檢驗

主要檢驗殘差ε項是否獨立。采用自相關系數綜合檢驗法，經過計算，統計量265，顯著水平 α=0.05時，查 χ2表得，故εt是相互獨立的假定可以接受。

獨立隨機序列εt的正態性檢驗:Cs(ε)=1.126，方差=0.5574×103，均值為－0.1069。該序列為εt～(0，0.1489)的正態分布。

因此，隨機項模型:x(t)=D(t)+ε(t)=0.1336xt－3+ 0.2136xt－5+0.1520xt－14+ε(t)εt～(0，0.1489)，隨機變化項圖形見圖3。

2.4 模型組合

將趨勢項、周期項、隨機項疊加，就得到降雨量變化時間序列預測模型，即

3 模型擬合及預測

應用時間序列模型對查哈陽農場1956—2008年作物生育期的月降雨量序列進行擬合，見圖4所示，從圖4可以看出，建立的降雨量時間序列模型擬合效果較好。計算模型的平均相對誤差為2.35%，后驗差比值C=0.0235，小誤差頻率p=1，擬合準確率1，滿足精度要求，該模型可應用于預報該地區未來降雨量。運用該模型預測未來3 a(2009—2011)中5—9月的月降雨量，預測曲線見圖5所示。

4 結論

1)選擇53 a的查哈陽農場月降雨量觀測資料進行分析，通過對序列趨勢項、周期項、隨機項的識別和提取，建立降雨預測模型。從擬合曲線圖形上可以看出資料的序列越長，建立的模型其代表性也就越好，預報精度也越高，是一種很好的模擬預測模型，該模型能夠反映該地區降雨量變化規律，對于預測未來年份降雨的豐枯狀況、水資源量的大小以及洪澇等方面都有重要的意義。同樣也為評價當地水資源利用效率提供資料，為管理和規劃當地的水資源提供了可靠的依據。

2)在模型的應用過程中，確定有效諧波數L和自回歸模型階數P是建模的關鍵，應經反復計算，選擇使模擬殘差達到最小的L和P。

圖3 1956—2008年查哈陽農場月降雨量隨機變化項圖

圖4 1956—2008年月降雨量時間序列模型擬合曲線

圖5 查哈陽農場未來3 a 5—9月月降雨量預測曲線

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