基于球體層狀介質模型的大地電磁正演

羅 威，王緒本，覃慶炎

基于球體層狀介質模型的大地電磁正演

羅 威1，王緒本1，覃慶炎2

（1．成都理工大學 地球探測與信息技術教育部重點實驗室，四川成都 610059；2．中國煤炭科工集團 西安研究院，西安 710077）

目前大地電磁測深法的一維正演理論，是基于平面波垂直入射水平層狀介質的假設模型。但由于地球是一個球體，因此有必要研究基于球狀介質模型的大地電磁正演理論。這里詳細推導了基于球體層狀介質模型的大地電磁正演公式，計算了若干理論模型。通過同基于水平層狀介質模型的大地電磁正演結果對比，驗證了正演公式的正確性。同時，指出當探測周期增加到上萬秒時，阻抗相位會增大；而當探測周期增加到數十萬秒時，視電阻率會減小。

大地電磁；球體層狀介質；一維正演；視電阻率；阻抗相位

0 前言

大地電磁測深法（Magnetotellurics，簡稱MT），是從導電性的角度研究地殼和上地幔結構不可缺少的地球物理探測方法，是在二十世紀五十年代初期由Tikhonov［1］和Cagniard［2］分別提出的。

在MT理論基礎中，為了保證可行性，同時考慮到地球內部的電磁感應特點，人們做了一系列假設［2、4］。其中最主要的就是平面波垂直入射水平層狀介質的假設。Srivastava［3］曾指出，當探測深度或周期達到一定程度后，則有必要考慮地球的球狀形態的影響，但并未給出具體的正演推導過程，并且模型的對比分析也不夠合理。因此，作者在本文詳細推導了基于平面波垂直入射球體層狀介質模型的正演公式，通過同基于水平層狀介質模型的大地電磁正演結果對比，對地球曲率對MT的影響做了定量分析。

1 基于球體層狀介質模型的MT正演公式

目前在MT一維正演理論中，介質模型被假設為水平層狀介質（見圖1（a））。作者采用球體層狀介質模型，圖1（b）表示一個n層球狀地電斷面，各層的電阻率為ρ1、ρ2、…、ρn，每一層上頂面是相對于地心的半徑為r1、r2、…、rn的球體層狀介質模型。

1．1 平面波入射均勻介質球體的波阻抗

為了研究平面波入射球體層狀介質模型的MT正演理論，作者先從最基本的均勻介質球體入手。假設平面電磁波沿z軸入射到半徑為a的介質球，如圖2所示。

電磁場可以分為相對于球徑方向的TM和TE極化波二部分（簡稱TM波和TE波）。由Maxwell方程組中的▽·H＝0和▽·E＝0及矢量場論可知，任一矢量旋度的散度恒等于零，故我們可以引入磁矢量A和電矢量F：

TM波球徑方向的磁場H＝0，矢量磁位僅有球徑方向的分量A＝Arer；而TE波球徑方向的電場E＝0，則矢量電位為F＝Frer。由此可以導出在Lorentz規范條件下的矢量位方程式（2）。

其中k＝（w2με－iwμσ）1／2為均勻介質球中的復波數。

以TM波為例，在球坐標系中將式（2）展開為式（3）：

將式（3）中的各項同時除以r，利用關系式：

可將式（3）改寫成式（5）。

式中 ▽2為三維Laplace算符。

由此可見，（Ar／r）滿足齊次標量的Helmholtz方程。對于TE波，則有：

令＝Ar／r＝Fr／r，和分別稱為TM波和TE波的Debye位。通過求解方程（5）和方程（6）可得到Debye位，進而得到矢量位，再由矢量位導出電磁場［5］：

展開式（7），即可用Debye位表示出各電磁場分量：

作者在導出Er和Hr的表達式時，再次用到了式（4）。若只存在TM波或TE波時，只需令＝0或＝0。根據方程（5）和方程（6）的通解，可寫出Debye位的一般形式：

式（9）中f（r）滿足貝塞爾方程：

方程的解f（r）為第一類和第二類n階Bessel函數，或Hankel函數，或其線性組，）為締合Lengendre函數。略位移電流（μεω2?μσω），將Debye位的一般形式代入式（8）中，得到了Srivastava［3］直接引用的公式，即均勻球體內磁場和電場的n次諧波各分量：

其中jn（x）和ηn（x）分別為n階第一類和第二類球貝塞爾函數；Bηn（kr）表示反射波。

對于均勻球體介質，假設對電磁波全部吸收，即B＝0，則阻抗為：

或：

1．2 平面波入射球體層狀介質模型正演公式

從式（13）和式（14）可以看出，阻抗與θ和φ無關，只與f（r）有關。因此球內半徑為r處的阻抗為：

為了方便表述正演公式，可做如下假設：

令

對于一個兩層同心球體，則在同一層的頂面（r＝r1）和底面（r＝r1）且r2＜r1處，Z1和Z2分別為：

在兩個方程中，有相同的待定系數A與B，則可用Z2來表示Z1，可以得到相鄰兩層之間的阻抗變換關系。把Z2代人Z1中，則有式（19）。

同理，若對于一個n層同心球體，第m層阻抗可由第m＋1層表示，則有式（20）。

最內層的球體表面阻抗與均勻球體介質相同，已由式（13）和式（14）給出。而從底層開始，由式（20）迭代公式可一層一層地向上遞推，求出球表面阻抗Z1。

由阻抗可求得球表面視電阻率和阻抗相位：

圖3（見下頁）為基于球體層狀介質模型的MT正演流程圖。

2 理論模型算例分析

2．1 均勻球體模型和均勻半空間模型

均勻球體模型和均勻半空間模型如圖4（見下頁）所示，電阻率設為100Ω·m；均勻球體半徑取地球平均半徑6 371 km；研究周期范圍為從1 s～106s，采用以10為底的對數采樣間隔，共61個頻點。

見下頁，圖5中的（a）與（b）分別是二種模型正演結果視電阻率和阻抗相位對比圖，其中實線是基于水平層狀介質模型的正演結果，虛線是基于球體層狀介質模型的正演結果。從圖5中可以看出，二種介質模型的視電阻率曲線和阻抗相位曲線，在高頻部份完全重合。當周期繼續增大，球體層狀模型的視電阻率相對水平層狀模型，在3 s×105s左右開始分離并降低，阻抗相位在2 s×104s左右開始分離并增大。這說明隨著測量周期增大，探測深度越深，地球球狀形態的影響就越明顯。

2．2 模型二：H型模型

H型介質模型如下頁圖6所示，第一層厚度為200 km，電阻率取值為5 000Ω·m；第二層厚度為300 km，電阻率取值為100Ω·m；第三層電阻率取值為1 000Ω·m。

見下頁，圖7中的（a）與（b）分別是H型介質模型正演結果視電阻率和阻抗相位對比圖。從圖7中可以看出，曲線仍然是在高頻部份完全重合。當周期繼續增大時，球體層狀模型的視電阻率相對水平層狀模型，在105s左右開始分離并降低，阻抗相位在104s左右開始分離并增大。

2．3 模型三：HK型模型

HK型介質模型如后面圖8所示，第一層厚度為200 km，電阻率取值為2 000Ω·m；第二層厚度為200 km，電阻率取值為100Ω·m；第三層厚度為200 km，電阻率取值為5 000Ω·m；第四層電阻率取值為400Ω·m。

見后面，圖9中的（a）與（b）分別是HK型介質模型正演結果視電阻率和阻抗相位對比圖。從圖9可以看出，對比結果與前面的模型一致，相位曲線的分離周期為一萬秒的數量級，視電阻率的分離周期為十萬秒數量級。

3 結論與建議

（1）通過平面波垂直入射水平層狀介質模型與球體層狀介質模型正演結果對比，證明了基于球體層狀介質模型正演公式的正確性。

（2）受地球球狀形態影響，當探測周期增加到上萬秒時，阻抗相位會增大；當探測周期增加到數十萬秒時，視電阻率會減小；此時水平層狀模型不再適用，應采用球體層狀模型。

（3）作者在本文中，只在一維情況下推導了基于平面波入射球體層狀介質模型正演公式，可以進一步分析在二維或三維情況下，地球球狀形態對MT的影響。

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A

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國家自然科學基金（4084102，40839909，40674035）

2011－10－16改回日期：2011－11－08

1001—1749（2012）04—0384—06

羅威（1988－），男，碩士，主要研究方向：工程與環境地球物理。