梯度復合板界面對Ⅲ型內部周期裂紋影響

萬景燕，霍華頌，時朋朋

(1.長安大學理學院，陜西西安710061;2.寧夏大學數學計算機學院，寧夏銀川750021)

工程中常將不同梯度材料拼接使用，以滿足對材料性能的多重要求。為能夠充分發揮功能梯度材料中各組成材料的特性，滿足工程實際需求，須在材料設計上尋求最佳分布梯度，以期最大限度地緩和由機械或熱機械行為失配所引起的應力不均。因此，研究功能梯度材料斷裂行為成了其設計中的重要問題。

許多學者都對功能梯度材料的斷裂力學做了研究，Erdogan在功能梯度材料斷裂力學理論研究方面做了卓有成效的工作，他和他的合作者解決了在不同機械載荷和熱載荷作用下功能梯度材料斷裂的一些基本問題［1-5］。文獻［6］研究了壓電材料中垂直于界面的周期裂紋問題，文獻［7］求解了含周期裂紋的接觸問題。目前國內外對周期裂紋問題討論較少，文獻［8-9］運用積分變換和奇異積分方程方法求解了反平面載荷下功能梯度材料中單周期分布裂紋的應力強度因子，文獻［10］借助Fouirer級數和傳遞矩陣方法得到周期問題的Hilbert核奇異積分方程，考慮的是由功能梯度涂層和無限彈性基體構成的材料模型，文獻［11］通過疊加原理用含無窮項積分形式的奇異積分方程求解梯度材料的周期界面問題，研究的是單個功能梯度帶材料。本文求解兩個功能梯度條帶弱間斷粘結的復合結構，其中一個板條內部存在周期裂紋。通過運用有限傅里葉變化簡潔的將混合邊值問題的求解轉化為Hilbert核奇異積分方程，并運用 Lobatto-Chebyshev方法對問題進行數值求解。

1 問題描述

圖1，厚度為h1與h2的兩個無限長功能梯度板條弱間斷粘結成復合板條，采用直角坐標系(x，y)，材料的粘結界面位于x軸上，距粘結界面h的位置存在周期裂紋，最小周期帶寬為2L，每個周期帶內存在單個裂紋，長度為2a。y軸穿過裂紋中心且垂直于裂紋面。m0為材料1和材料2的粘結界面處的剪切模量。結構的剪切模量使用雙參數的指數模型(材料1、2中的各種參數均用上標1、2標出)。

式中μ0-粘結界面上的剪切模量和密度;α，β1，β2-描述材料非均勻性的參數。

在反平面變形情況下，功能梯度層的本構平衡方程、控制方程分別為(k=x，y;j=1，2)。

2 斷裂分析

考慮周期性，問題的邊界條件為

考慮問題周期性，利用有限傅里葉變換，得到反平面載荷下的位移解

定義如下的位錯密度函數

它滿足如下條件

由邊界條件式(5)可得到如下奇異積分方程

其中m為求積節點數，δ0=δm=1/2，δ1=…=δm-1=1。

基于式(16)和式(17)式的數值解，可以進一步求得裂紋尖端標準化的應力強度因子表達式為

3 數值結果與討論

算例中材料粘結界面的物理參數選擇為 m0=12×1010N/m2，進一步分析不同梯度材料的非均勻參數a，b1，b2，材料厚度h1，h2，裂紋與界面距離h以及最小周期帶寬2L等對應力強度因子的影響，結果如圖2-圖5。圖2、圖3給出了不同梯度材料的非均勻參數(通過a，b1，b2體現)對裂尖應力強度因子的影響。從圖2和圖3可看出:非均勻參數a的不同導致指數型非均勻參數b1，b2的變化對界面裂紋的應力強度因子的影響不同。當a=1，應力強度因子達到最小，b1的變動對應力強度因子沒有影響。當a1=1時，應力強度因子隨著b1的增加而達到最小值，然后隨著b1的增加而迅速變大。當lna距0越遠，變化越大。從圖2可以看出當a＞1時，應力強度因子隨b2增大而變小。當a＜1時，應力強度因子隨著b2增大而增大。當a=1時，顯然各個功能梯度層均退化為非均勻層，指數型非均勻參數b1，b2的變動對應力強度因子沒有影響。圖4給出了不同的材料厚度(通過h1/a，h2/a體現)與界面距離(通過h/a體現)對裂尖應力強度因子的影響。從圖4中可看出:裂紋尖端應力強度因子隨著材料厚度的增加而減小。而且裂紋距界面越近，應力強度因子越大。圖5反映的是不同的以及最小周期帶寬(通過L/a體現)對裂尖應力強度因子的影響。從圖5中可看出:裂紋尖端應力強度因子隨著周期帶寬的增加而迅速減小，最后達到穩定的數值。這是因為固定裂紋尺寸a，周期帶尺寸L增大將使裂紋間距更加稀疏，從而有效地減弱裂紋間的相互影響，當L/a＞2.5時，裂紋周期分布導致的應力強度和單個裂紋情況下的結果差別很小，裂紋之間的干涉作用微弱，對裂紋端應力強度因子的影響可以忽略。

4 結論

1)隨著材料厚度的增加，裂紋尖端的應力強度因子減小，內部裂紋距離弱間斷界面越遠，應力強度因子越小。

2)用雙指數模型描述材料非均勻性時，不同的底數取值導致指數變量對應力強度因子的影響不同，選擇適當的材料組合可以阻滯裂紋擴展。

3)隨周期帶寬的增加，可以有效地降低裂紋間的相互影響，降低裂紋尖端應力強度因子。

［1］DELALE F，ERDOGAN F.The crack problem for a nonhomogeneous plane［J］.Journal of Applied Mechanics，1983，50:609-614.

［2］DELALE F，ERDOGAN F.Interface crack in a nonhomogeneous elastic medium［J］.International journal of Engineering Science，1988，26(6):559-568.

［3］KONDA N，ERDOGAN F.The mixed-mode crack problem in nonhomogeneous elastic plane［J］.Engineering Fracture Mechanics，1994，47:533-545.

［4］ERDOGAN F.Fracture mechanics of functionally graded materials［J］.Composites Engineering，1995，5(7): 753-770.

［5］ERDOGAN F，B H WU.The surfaces crack problem for a plate with functionally graded properties［J］.Journal of Applied Mechanics，1997，64(3):449-456.

［6］X LI，S H DING.Periodically distributed parallel cracks in a functionally graded piezoelectric(FGP)strip bonded to a FGP substrate under static electromechanical load［J］.Computational Materials Science，2011(50):1477 -1484.

［7］Y T ZHOU，X LI.Coupled crack/contact analysis for composite material containing periodic cracks under periodic rigid punches action［J］.Tech Science CMES，2010，63(2):163-189.

［8］J CHEN.Anti-plane problem of periodic cracks in a functionally graded coating-substrate structure［J］.Arch Appl Mech，2006(75):138-152.

［9］S H DING，X LI.Anti-plane problem of periodic interface cracks in a functionally graded coating-substrate structure［J］.International Journal of Fracture，2008 (153):53-62.

［10］黃干云，汪越勝，余壽文.功能梯度涂層中的Ⅲ型周期裂紋問題［J］.機械強度，2004，26(S):097-099.

［11］陳宜周.彈性功能梯度材料板條中周期裂紋的反平面問題［J］.力學學報，2004，36(4):501-506.